Es geht um folgende Aufgabe.

Beh.: (Summe k=1 bis n) (-1)^(k+1) * k^2 = (-1)^(n+1) (n(n+1)) / 2

Kollege behauptet, die Aufgabe kann wie folgt gelöst werden:

(Summe k=1 bis n+1) (-1)^(k+1) * k^2 = (-1)^(n+2) ((n+1)(n+1+1)) / 2

(Summe k=1 bis n) ((-1)^(k+1) * k^2) + (-1)^(n+2) * (n+1)^2 = (-1)^(n+2)
((n+1)(n+1+1)) / 2

(-1)^(n+1) (n(n+1)) / 2 + (-1)^(n+2) * (n+1)^2 = (-1)^(n+2) ((n+1)(n+2)) / 2

(-1)^(-1) * ((n(n+1)) / 2) + (n+1)^2 = ((n+1)*(n+2)) / 2

-(n^2 +n ) + (2n^2 + 4n + 2) = n^2 + 3n +2

n^2 +3n +2 = n^2 + 3n +2

1=1

Etwas schöner PDF.

Ich behaupte, er macht hier den beliebten Fehler mit dem anzufangen, was eigentlich gezeigt werden soll. Habe ich recht? Und wenn ja? Wie löst man dieses blöde Ding auf?

ja du hast recht,

und auflösen tut man solche konflikte nach diesem prinzip:


| ^ v | | ^ v | -> ->
also erst mal schön das oberste element der summe ausklammern und die ind-voraussetzung mit einbauen
(das sind dann die ersten beiden schritte jeweils auf der linken seite der angegebenen gleichungen,
dann so umformen das es wie auf der rechten seite aussieht und dann dort wieder hochmarschieren,

das klappt hier nur teilweise,
sieht hier dann so aus:

(Summe k=1 bis n+1) (-1)^(k+1) * k^2

= (Summe k=1 bis n) ((-1)^(k+1) * k^2) + (-1)^(n+2) * (n+1)^2

= (-1)^(n+1) (n(n+1)) / 2 + (-1)^(n+2) * (n+1)^2


(ab hier umformen)

= (-1)^n+2 * ( n(n+1)/-2 + (n+1)^2 )

= (-1)^n+2 * ( (n²+n)/-2 + (-2n²-4n-2)/-2 )

= (-1)^n+2 * (-n²-3n-2)/-2

= (-1)^n+2 * (n²+3n+2)/2

= (-1)^n+2 * (n+1)(n+2)/2

[img]http://www.fb18.de/gfx/10.gif[/img] Big thx. Nur mit einer Sache habe ich mich noch etwas:

= (-1)^(n+1) (n(n+1)) / 2 + (-1)^(n+2) * (n+1)^2

= (-1)^n+2 * ( (n(n+1)/-2) + ((n+1)^2 / -2))


(-1)^(n+1) und (-1)^(n+2) zu (-1)^(n+2) zsammenfassen? Das finde ich eigenartig.

(-1)^(n+2) ausklammern, da bleibt im linken der beiden terme natürlich ein 1/-1 über, erkennbar an der -2 im nenner