kann mir jemand helfen?
sei |A| = 8 und |B|=5,
wieviele abbildungen f: A–>B mit |f(A)|=3 gibt es?
thx

hat sich grad erledigt… bitte nicht mehr antworten!!!

hat sich nicht erledigt du spacken!

[img]http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img]

hast du langeweile?

geid so

Also mich würds dann doch noch interessieren.

Tja. Mit einem Account wäre das nicht passiert. Anyway. Ich frage mich immer noch, was |f(A)| eigentlich genau sein soll. Wenn das jemand beantworten könnte, ergibt sich der Rest glaube ich von selbst.

Also f(A) ist die Bildmenge vom A unter f, also diejenigen Elemente aus B, die man "erreichen" kann. Formal gesprochen: f(A) := {b | es gibt ein a aus A mit f(a) = b}
|f(A)| ist dann halt die Maechtigkeit dieser Menge.

f(a) sind die Elemente aus B, die erreicht werden können, wenn |f(a)| = 3 ist, können also drei Elemente erreicht werden, womit |B| von 5 auf 3 schrumpft und wir dann 3 hoch 8 berechnen müssten, was dann 6561 wäre. Passt das so?

Nein, das waere zu einfach. Zum einen beruecksichtigst Du nicht, dass nicht gesagt wird, WELCHE 3 der 5 Elemente erreicht werden koennen. Also muessen wir auf jedenfall noch mit 5 ueber 3 multiplizieren. Zum anderen sind in Deiner Loesung auch Abbildungen mit |f(A)| < 3 enthalten.
Aber was jetzt die richtige Loesung waere… sorry, dazu bin ich schon wieder zu lange raus.

dann mal die mit |f(A)| <= 2 abziehen,

(5 3) 3^8 - (5 2) 2^8 = 10 (6561 - 256) = 63050

Sicher? In der Klausurmitschrift steht 9660 als Ergebnis. Aber wie verlässlich die Angaben sind…

Dazu gabs AFAIR schon mal einen Thread…

Hmm weiß nix und finde mit der Suche nix. Wenn es drankommen sollte, werde ich einfach die Slatrische-Methode anwenden. Zumindest von der Idee her ist sie fein und sollte ein oder zwei lecker Punkte bringen, finde ich [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img].

Stimmt, sorry, hatte ich verwechselt.

Sicher? In der Klausurmitschrift steht 9660 als Ergebnis. Aber wie verlässlich die Angaben sind…

wer hat denn da mitgeschrieben..? ständig diese ungewissheiten,
ob ich mich nicht irre kann ich natürlich nicht sagen bis jemand eine andere zahl nennt und herleitet,
auszählen ist diesmal schlecht ;)

so dank der anderen kombinatorikaufgabe

http://3773.rapidforum.com/topic=101585149004&search=&reverse=0

seh ich jetzt wieder einen alternativen rechenweg zum nachprüfen, nämlich wie die bilder belegt werden,
und da find ich doch glatt einen fehler


also wens interessiert ;) :

erst mal |f(A)| <=2 auf alternativen weg:


erst im 1. schritt die möglichkeiten, die elemente auf bilder mit festgelegter mächtigkeit zu verteilen,
dann im 2. schritt schauen, wie viele möglichkeiten es gibt, solche ausgangsposition zu erzeugen

1.schritt:
8 elemente zeigen auf ein bild, 0 auf das andere: (8 0) = 1
7,1: (8 1) = 8
6,2: (8 2) = 28
5,3: (8 3) = 56
4,4: (8 4) = 70

2.schritt:
bei den ersten vieren teilsummen gibt es jeweils die möglichkeit zwischen den beiden bildern zu tauschen, also entweder 8 auf das eine und 0 aufs andere oder 0 auf das erste und 8 aufs zweite,
bei der letzten kann man nicht tauschen, da dort alle gespiegelten möglichkeiten mit drin sind
(da 4 = 4)
(kann man sich bei bedarf an einem direkt auszählbaren beispiel klar machen)

macht zusammen (1+8+28+56)*2+70 = 256 = 2^8 möglichkeiten, stimmt also,



hat man aber 3 elemente in B sinds doch ein wenig mehr möglichkeiten, abbildungen mit |f(A)| <=2 zu erhalten, da es 3 möglichkeiten gibt für das element, auf das nicht abgebildet wird,

ausgezählt:

1. schritt:
8 auf das erste element, 0 auf das zweite, 0 auf das dritte: (8 0) = 1
7,1,0: (8 1) = 8
6,2,0: (8 2) = 28
5,3,0: (8 3) = 56
4,4,0: (8 4) = 70

2. schritt:
für die erste und letzte teilsumme gibt es 3 möglichkeiten, die 3 werte auf die die 3 elemente zu verteilen, beispiel bei der ersten teilsumme: 8,0,0 - 0,8,0 - 0,0,8
bei den anderen 6 möglichkeiten, da dort 3 verschiedene werte

summe = (1+70)*3+(8+28+56)*6 = 765

(= 2^8 * 3 - drei doppelte die man erkennen muss)



nun noch die richtigen auszählen: |f(A)| = 3,

1. schritt:
6,1,1: (8 1) * (7 1) = 56
5,2,1: (8 2) * (6 1) = 168
4,3,1: (8 3) * (5 1) = 280
4,2,2: (8 2) * (6 2) = 420
3,3,2: (8 3) * (5 2) = 560

2. schritt
beachtet man wieder die anzahl der möglichkeiten, welches element nun welches der bilder erhält als summe

(56 + 420 + 560)*3 + (168+280)*6 = 5796

5796 ist die gesuchte zahl bis auf die wahl der 3 bilder von |f(A)| unter den ursprünglichen 5

ergebnis ist dann auf diese methode 5796 * (5 3) = 57960



der vorherige rechenweg ist dann:

(5 3) * 3^8 - (5 2) * x

mit x = |f(A)| <= 2 in B mit |B| = 3
= [|f(A)| <= 2 in B mit |B| = 2] * 3 - doppelte
= 2^8 * 3 - drei doppelte
= 765

->
(5 3) * 3^8 - (5 2) * 765 = (5 3) * 5796 = 57960



welcher weg nun einfach er ist.., gibt wahrscheinlich wieder noch einen dritten.. [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]