Hi,

ich kämpfe hier seit ein paar Stunden mit einigen kleinen Problemen, aber komme einfach auf keine Lösung. Vielleicht denke ich ja falsch.

Rekursion, bzw. explizite Formelfindung:

(Ausgewählte Aufgaben mit Lösungen II / Aufgabe 7b) - http://www.triphoenix.de/M1/loesungen2.zip

0 = C + D,
1 = -A -B -C + 2D,
9 = 4A + 2B + C + 4D,
-3 = -9A -3B -C + 8D.

Wie genau löst man den nun nach den Variablen auf???

Partialbruchzerlegung:

(dieselben Lösungen)

Problem 1:
Das Theorem zum Auffinden linearer Polynomfaktoren im Biggs besagt doch, dass wenn f(alpha) = 0, dann (x - alpha) ein linearer Faktor ist. Warum aber verwendet man in den Lösungen, beispielsweise Aufgabe 8a, die Form (alpha - x)???

Problem 2:
Klar ist, dass aus (1 - x)(1 - x)(1 + 2x), sich (1 - x)^2(1 + 2x) ergibt.

Wie kommt es dann zu der folgenden Schreibweise bei der Partialbruchzerlegung in der Aufgabe 8a:

A/(1 - x) + B/(1 - x)^2 + C/(1 + 2x)???

Warum verwendet man sowohl (1 - x), als auch (1 - x)^2 im Nenner???

Jegliche klärende Hinweise sind herzlich willkommen.

Wie genau löst man den nun nach den Variablen auf???

Mist. Da habe ich mich auch eben verhaspelt und schiefes rausbekommen.

Problem 1:
Das Theorem zum Auffinden linearer Polynomfaktoren im Biggs besagt doch, dass wenn f(alpha) = 0, dann (x - alpha) ein linearer Faktor ist. Warum aber verwendet man in den Lösungen, beispielsweise Aufgabe 8a, die Form (alpha - x)???

Die haben da nur das *2 reingezogen. (x-1) wäre ja die Nullstelle 1/2. Mal zwei ist es dann halt 1, bzw (1-x).

Klar ist, dass aus (1 - x)(1 - x)(1 + 2x), sich (1 - x)^2(1 + 2x) ergibt.
Wie kommt es dann zu der folgenden Schreibweise bei der Partialbruchzerlegung in der Aufgabe 8a:
A/(1 - x) + B/(1 - x)^2 + C/(1 + 2x)???
Warum verwendet man sowohl (1 - x), als auch (1 - x)^2 im Nenner???

(1-x)^2 bedeutet halt das es die Nullstelle zwei Mal gibt. Dementsprechend muss sie auch zwei Mal berücksichtigt werden. Sicherlich gibt es dafür noch ein schöne mathematische Erklärung, aber für die Klausur sollte es genügend, dass Du das einfach so aufziehst. Wenn es (1-x)³ wäre, würdest Du halt zu (1-x), (1-x)² auch noch (1-x)³ hinschreiben. Jede Nullstelle fordert klagt Recht ein.

Wie genau löst man den nun nach den Variablen auf???

So. Dieses Mal habe ich mich anscheinend nirgendwo mehr vertan:

0 = C+D => C = -D 1 = -A-B-C+2D | Einsetzen für C = -A-B+3D => A = -1-B+3D 9 = 4A+2B+C+4D | Einsetzen für C 4A+2B+3D | Einsetzen für A -4-4B+12D+2B+3D | Zusammenpappen -4-2B+15D => 2B = -13 + 15D => B = (-13+15D)/2 -3 = -9A-3B-C+8D | Einsetzen für A = 9+9B-27D-3B-C+8D | Zussammenfassen = 9+6B-19D-C | Einsetzen für C = 9+6B-18D | Einsetzen für B = 9-39+45D-18D | Zusammenfassen = -30+27D => 27D = 27 => D = 1
D in erste Gleichung einsetzen => C = -1
In B einsetzen => B = (-13+15)/2 = 2/2 = 1
In A einsetzen => -1-1+3 = 1

=> A = B = D = 1, C = -1

Hmm… geht das nicht einfacher und schneller, wenn man das in eine Matrix scheibt und dann in die Dreiecksform bringt (Gauß-Algorithmus)?

Schreibtechnisch wohl auf jeden Fall. Ansonsten halt, wie man sich dran gewöhnt hat. Und da ich z. B. gerne irgendwo Fehler mache, ist mir das so lieber. Mehr kleine Schritte erleichtern mir dann Fehlervermeidung/-suche.

Björn, besten Dank für die sehr ausführliche Lösung!