Aufgabe:
1) Zeige: ggt(a(x),b(x))=(x-5)

a(x)=x^4-5x^3+2x^2-10x
b(x)=x^3-5x^2+x-5

2) Finde werte für nü und lambda …=(x-5)

Ist folgendes richtig, ich bin mir nicht sicher, weil die Lösung auf der Übungsklausur eine für mich nicht nachvollziehbare Lösung vorschlägt:

a(x):x=x^3-5x^2+2x-10

(x^3-5x^2+2x-10):(x^3-5x^2+x-5)=1 rest x-5

(x^3-5x^2+x-5):(x-5)=x^2 Rest 0


a(x)/x=b(x)+(x-5)
=> (x-5)=a(x)/x-b(x)
Nü=1/x
Lambda=-1

Sieht für mich richtig aus…. Ich bräuchte aber eine Begründung, weshalb ich a(x) vorher durch x teilen darf… ??

Nö. Das ist falsch.

Du hast einmal:
a(x) = x * b(x) + (x² - 5x) | - (x² -5x) / - a(x) => -(x²-5x) = -a(x) + x * b(x) | * -1 => x²-5x = a(x) - x * b(x)
So. Das musst Du nämlich gleich einsetzen, weil Du ja auch noch a(x) in Deine Form bringen willst:
b(x) = x * (x² - 5x) + (x – 5) | - (x-5) / - b(x) => -(x-5) = -b(x) + x * (x²-5x) | * -1 => x-5 = b(x) - x * (x²-5x) | für x²-5x einsetzen => x-5 = b(x) - x * (a(x) - x * b(x)) | ausklammern => x-5 = b(x) - x * a(x) + x² * b(x) | zusammenfassen => x-5 = -x * a(x) + (x²+1) * b(x)
Damit ist Lambda(x) = -x und My(x) = x²+1

Wie kommst Du denn auf die Zeile:
b(x) = x * (x² - 5x) + (x – 5) ?

Das kommt aus Aufgabe 1:

Euklidischer Algorithmus:
x4 - 5x³ + 2x² - 10x = x * (x³ - 5x² + x – 5) + (x² - 5x)
=> x³ - 5x² + x – 5 = x * (x² - 5x) + (x – 5)
=> x² - 5x = x * (x – 5) + 0

Divisionen zum Algorithmus:
(x4 - 5x³ + 2x² - 10x) : (x³ - 5x² + x – 5) = x -(x4 – 5x³ + x² - 5x) ---------------------- Rest: x² - 5x ============== (x³ – 5x² + x – 5) : (x² - 5x) = x -(x³ – 5x²) ---------- Rest: x - 5 =========== (x² – 5x) : (x - 5) = x -(x² – 5x) --------- Rest: 0 =======