moin!
hoffentlich alle fleissig ;-)
geht um aufgabe 6. c) der klausur vom 23.02.2001:
zeige, dass fuer alle n_> %groesser gleich% 3 |U (Zn)| ist gerade.
kann mir jemand bei der loesung helfen?

Nehmen wir mal U(Z18) = {1,5,7,11,13,17}

Die 1 ist natürlich immer Element einer solchen Gruppe. Allerdings auch immer das letzte Element der Gruppe. Hier bei Z18 ist zum Beispiel die 1 und die 17 enthalten.

Betrachten wir aber die anderen Elemente: Die 5 welche das Inverse zu 13 ist, von der 7 ist das Inverse die 11. Es befinden sich also immer Paare von zueinander multiplikativ inversen Elementen in so einer U(Zx) Gruppe, plus der eins und dem letzten Element. Daher ist die Kardinalität stets gerade.

Bei U(Z2) besteht das Problem, das die 1 erstes und letztes Element der Gruppe ist. Damit ist die Anzahl natürlich nicht gerade, U(Z1) ist ohnehin leer.

thx

ich will nicht weiter verwirren, aber beweisen kann man das auch:


für eine beliebige zahl x aus Zn gilt:
x ist zu sich selber invers
<=> x^2 mod n = 1
<=> (x-n)^2 mod n = 1
<=> (n-x)^2 mod n = 1
<=> n-x ist zu sich selber invers

also sind immer nur paare von elementen aus Zn jeweis zu sich selber invers,


es sei denn x = (n-x):

daraus folgt entweder x=0, die 0 ist allerdings nie invertierbar,

oder 2x = n -> x^2 mod n = x*x mod 2*x = x (x mod 2)
= x für 2 teiltnicht x oder
= 0 für 2 teilt x
-> x ist nicht invertierbar für n > 2 da dann x>1


da also nur paare von elementen aus Zn zu sich selber invers sind,
folgt eine gerade anzahl von elementen in U(Zn)
(mit den elementpaaren die gegeneinander invers sind x*y=1 x!=y)


@Björn
da kann es nämlich noch weitere zu sich selbst inverse elemente geben nicht nur 1 und n-1, zum beispiel 7 in Z12

also ich haette das kuerzer gemacht:

Sei n Element N und groesser gleich 3. Dann ist n-1 teilerfremd zu n, also in U(Zn). Da n-1 groesser gleich 2 ist hat es die Ordnung 2.
beweis: n-1 (kongruent zu) (-1) mod n => (-1)*(-1)=1

da es die Ordnung 2 hat und die Ordnung jedes elements eien Gruopper Teiler der Gruppenordung ist muss die Gruppenordnung gerade sein

fertisch

dann hat ja jede gruppe mit einem solchen selbstinversen element gerade ordnung, schick, in dem sinne gefällige aufgabe ;)

Hmm? Verwirre mich nicht. Z3 hat auch ein Selbstinverses, aber ist doch ungerader Ordnung? Was habe ich jetzt schon wieder verpasst?

Z3 ist dafür ja auch keine multiplikative gruppe, Z3\{0} schon

Na gut, dass es für die multiplikativen Gruppen ab 3 gilt, war jetzt ja nicht so die große Überraschung, da das ja durch die Aufgabenstellung bereits gegeben war.

dann hat ja jede gruppe mit einem solchen selbstinversen element gerade ordnung, schick, in dem sinne gefällige aufgabe ;)

laut Lagrange ist dies so :)