Mal endlich wieder eine Mathefrage von mir [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]

Für die Potenzreihe u(x) = u0 + u1x + u2x² + … gelte

U(x) = 9x / ( (1-5x)² (1-2x))

Berechne un mittels Partialbruchzerlegung.

Okay. Dann baue ich da erst mal

A B C U(x) = ------ + ------ + ------ (1-5x) (1-5x)² (1-2x)
und multipliziere beide Seiten mit (1-5x)²(1-2x)

Dann steht da:

9x = (1-5x)(1-2x)A + (1-2x)B + (1-5x)²C

(1-2x) dann ist meine erste Nullstelle also 1/2. Einsetzen:

4,5 = (1-2,5)²C = 9C/4 => C = 2

(1-5x)² also noch zwei Nullstellen mit 1/5. Bringt mir aber nur eine etwas. So denn:

9/5 = 3/5B => 9 = 3B => B = 3

Geschrei: Keine Nullstelle mehr für mein A da. Also nehmen wir einfach mal x = 1:

9 = (1-5)(1-2)A + (1-2)3 + (1-5)²2 = 4A - 3 + 32
=> - 20 = 4A => A = -5

So. Dann habe ich letztlich behauptet:

un = (1-5n)(1-2n) * -5 + (1-2n) * 3 + (1-5n)² * 2

… blickte erwartungsvoll auf die unter der Aufgabe stehende Lösung und sah:

un = 2n+1 + (3n-2)5n

Wo bin ich denn nun wieder falsch abgebogen???

also ich gehe meistens nach einer anderen methode vor wenn ich die Partialbruchzerlegung habe deswegen kann ich dir nicht sagen ob es richtig ist was du gemacht hast und nur ein umformungsschritt fehlt oder ob du was falsch gemacht hast.
Dein A,B und C ist jedenfalls richtig wie ich gleich zeigen werde. Bei deinem schritt zu Un bin ich mir nicht sicher ob das so geht weil ich es wie egsagt immer anders gemacht habe

In den folgenden schritten benutze ich "Sum" das hier immer fuer die Summe von N=0 bis unendlich steht. Die Partialbrueche schreibe ich nicht so schoen hin weil ich keine leerzeichen hinkriege.
Wir haben also

U(x) = -5/(1-5x) + 3/((1-5x)^2) + 2/(1-2x)

(das ist die partialbruchzerlegung mit deinem A,B,C)
Fuer den folgenden schritt muss man die potenzreihenumformung kennen:
(1-ax)^-m = 1 + ax + … + a^n*((m+n-1)ueber n)x^n …

Also nun die Umformung:

U(x) = -5 * sum( 5^n*x^n ) + 3 * sum( (n+1)*5^n*x^n ) + 2 * sum( 2^nx^n )

daraus folgt fuer den n. koeffzienten (sagt man glaube ich so)
aus uebersichtlichkeit verwende ich klammern.

Un = (-5 * 5^n) + (3 * (n+1) * 5^n) + (2 * 2^n)

<=> (2*x^n ist x^n*x^n ist x^(n+1))

Un = (-5 * 5^n) + (3 * (n+1) * 5^n) + 2^(n+1)

<=>3*(n+1) ausrechnen

Un = (-5 * 5^n) + ((3n + 3) * 5^n) + 2^(n+1)

<=> 5^n ausklammern bei den ersten beiden termen

Un = ((-5 + 3n + 3) * 5^n) + 2^(n+1)

<=> (ersten term weiter ausrechnen)

Un = (n-2)5^n + 2^(n+1)

fertisch

Cool. Thx. Schon wieder eine Stelle, wofür ich mich endlich mal genauer mit der ax(t)-Formel beschäftigen sollte. %) Wurde mir ja auch bereits schon von zaster-laster angepriesen.

ich hab gerade mal zu testzwecken fuer n=3 eingesetzt, in deine formel und in die richtige formel.
Das Ergebnis ist unterschiedlich und somit gehe ich davon aus, dass bei dir nicht nur eine umformung fehlt sondern du einen falschen schritt gemacht hast. Der muss ganz am ende liegen denn A,B,C sind wie bereits erwaehnt richtig berechnet

edit: und die ax(t)-formel ist wirklich schoen auch wenn ich nicht wusste, dass sie so heisst