Hallo, ich habe nochmal eine Handvoll Fragen zu den M-Übungen 1,
von denen Ihr vielleicht die eine oder andere beantworten
könntet - das würde mir sehr weiterhelfen … :)


Summenzeichen habe ich so dargestellt:
Summe Untergrenze(formel)Obergrenze

Indizies habe ich mit #index dargestellt.
=== ist das kongruent modulo Zeichen
E Element von


1. Bei Prüfung auf Injekt., Surjekt. , wie gehe ich vor,
wenn Surjektivität vorhanden ist? Wie sieht der Beweis aus?

2. Z3 B2.4: Beweise: Für b,a1,a2,c1,c2 E Z gilt:
Aus b|a#1 unf b|a#2 folgt b|(c#1*a#1+c#2*a#2)

3. Warum ist
Summe i=1( n!/(i!(n-i)!) )n dasselbe wie 2^n ?

4. Zeige: f: A->B g: B->C
g*f injektiv => f injektiv
g*f surjektiv => g surjektiv

Aus den Musterlösungen der Probeklausur werde ich leider
nicht schlau…

5. Z6 B4: Beweise durch 3er bzw. 9er Probe:
Eine nat. Zahl n=a#k*a#(k-1)…a#0 in Deziamldarstellung
ist genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn die Quersumme
a#0+a#1+…a#k durch 3 bzw. 9 teilbar ist. (Hinweis:
Zeige n===a#0+a#1…+a#k (mod 3 bzw. 9)

6. Ist folgendes richtig:
z=z#1*z#2 , z#1=3(cos(pi/4)+i*sin(pi/4)
z#2=7(cos(pi/2)+i*sin(pi/2)
Dann ist |z|=21 und Argument fi=3/4*pi ?

7. Geometrische Interpretation von |z-(2+3i)|=3

8. C#2 x C#2 zyklisch? Welche Ordnung?

9. Untergruppe Ordnung 4 von S#4. Was ist richtig (oder beides
falsch):
U#4={id,(1234),(2143)} oder U#4={id,(34),(23),(243)}

10. Z9 B3: Sei G die symmetrische Gruppe S#n unf H die zugehörige
alternierende Gruppe A#n. Zeige für alle g E G gilt:
Die Linksnebenklasse gH ist gleich der Rechtsnebenklasse Hg.
(Hinweis: Überlege zuerst, wieviele Linksnebenklassen bzw.
Rechtsnebenklassen H in G besitzt)

Boah. Das wäre jetzt in verschiedene Topics aufgeteilt, sicherlich besser gewesen. Wenn hier losgelegt wird, bleibt nicht mehr viel übrig.

Hmm. 9ner Probe. Dazu schrieb ich damals (als ich noch dachte, ich könnte Mathe *g*):

Beweis 3er- und 9er-Probe

Eine Zahl im Dezimalsystem können wir wie folgt darstellen:

n = (x0 * 10^0) + (x1 * 10^1) + … + (xk * 10^k)

wobei x für die jeweilige Ziffer steht, mit x0 für die Einerstelle. Die Quersumme dieser Zahl wiederum lässt sich wie folgt darstellen:

Q(n) = x0 + x1 + … + xk

Daraus ergibt sich:

n - Q(n) = (x0 * (10^0-1)) + (x1 * (10^1-1)) + … + (xk * (10^k-1))

Jeder Summand ist durch neun teilbar, da 10h - 1 für h e N immer durch 9 * (1 + 10 + … + 10^(h-1)) darstellbar ist, also einem Vielfachen von neun. Die Multiplikation mit der entsprechenden Ziffer ergibt wieder ein Vielfaches von neun. Diese Zahlen kann man natürlich auch beliebig miteinander addieren und erhält auch weiterhin ein Vielfaches von 9, bzw. etwas durch neun teilbares:

z1 | 9 und z2 | 9
=> E(t1, t2 e Z) t1 * 9 + t2 * 9 = z1 + z2
=> E(t1, t2 e Z) (t1+t2) * 9 = z1 + z2
=> E(s e Z) s * 9 = z1 + z2

n äqui. Q(n) mod 9 9 | (n – Q(n)) richtig, da E(teZ) 9t = n-Q(n), für 9 | Q(n).

Natürlich gilt dies auch für 3, das wir die obige Darstellung 9 * (1 + 10 + … + 10^(h-1)) auch als 3 * 3 * (1 + 10 + … + 10^(h-1)) schreiben können.

Damit gilt:

Ist n oder Q(n) ohne Rest durch neun / drei teilbar,
so ist auch Q(n) bzw. n ohne Rest durch neun / drei teilbar.

q.e.d

So. Ma gucken was da noch für Fragen sind.

1. Bei Prüfung auf Injekt., Surjekt. , wie gehe ich vor,
wenn Surjektivität vorhanden ist? Wie sieht der Beweis aus?

Sagen wir mal, Du hast so etwas einfaches wie f(x)= x+2

Da musst Du nur einsetzen und nach x umformen (wenn es x im entsprechenden Zahlenraum gibt, ist die Funktion surjektiv):

Beweis (surjektiv): y e Z, h(x) = y
x + 2 = y x = y - 2 für alle y e Z => h(x) = (y-2) + 2 = y, h ist surjektiv. 

Hmm. Wenn ich mein Lösungspaket online stelle, sind die Matheleute sicherlich sauer auf mich? Wäre jetzt irgendwie praktischer…

4. Zeige: f: A->B g: B->C
g*f injektiv => f injektiv
g*f surjektiv => g surjektiv

injektiv: Ist g * f injektiv, so gelten folgende Bedingungen: Die Elemente von A werden durch g * f injektiv auf C abgebildet. Ansonsten wäre auch g * f nicht injektiv. Nun muss aber auch f injektiv sein. Würden anderenfalls zwei verschiedene a auf ein b abgebildet werden, so würden durch die Verknüpfung beide a auf ein c abgebildet werden. Widerspruch zur Injektivität von g * f!

surjektiv: Ist g * f surjektiv, so muss es für jedes c mindestens ein b mit g(b) = c geben, für das gleichzeitig gilt f(a) = b, in anderen Worten: g(f(a)) = c. Anderenfalls wäre die Verknüpfung nicht mehr surjektiv. Damit muss g auch surjektiv sein, da – wie oben gezeigt – eine Teilbedingung darin besteht, dass es für jedes c mindestens ein b mit g(b) = c geben muss.

Man, dass ich hier auch mal was in Mathe erklären kann. *freu*

7. Geometrische Interpretation von |z-(2+3i)| = 3

Das hatten wir doch nun schon ausführlich. Wenn Du irgendwas der Art |z| = x hast, hast Du einen Kreisrand (also nicht ausgefüllt) mit Radius X. Hast Du da jetzt +/- einer Zahl, verschiebt sich der Mittelpunkt der X-Achse entsprechend. Hast Du beim Imnaginärteil (das Ding mit 'm i) +/-, wird es halt entsprechend auf der Y-Achse verschoben. Ein < anstatt = bedeutet, dass der Kreis ausgefüllt ist.

3. Warum ist
Summe i=1( n!/(i!(n-i)!) )n dasselbe wie 2^n ?

das halte ich für ein gerücht,

eher summe i=0 bis n … = 2^n

mal ein quasibeweis zitiert aus dem lieben königsberger:

konvention:

(n i) = (n über i) = n!/((n-i)!i!)

Satz Binominalentwicklung

(1+x)^n = (n 0)x^0 + (n 1)x^1 + (n 2)x^2 + … (n n)x^n

Beweis:
nach stochastik gibts (n k) möglichkeiten aus k der n klammern der linken seite das x zu wählen und aus den restlichen die 1,
damit kommt beim ausmultiplizieren der faktor x^k (n k)mal vor


nun ist 2^n = (1+1)^n = (n 0)1^0 + (n 1)1^1 + .. + (n n)1^n =
(n 0) + (n 1) + … + (n n) = summe i=0( n!/(i!(n-i)!) )n

2. Z3 B2.4: Beweise: Für b,a1,a2,c1,c2 E Z gilt:
Aus b|a#1 unf b|a#2 folgt b|(c#1*a#1+c#2*a#2)

Für b, a1, a2, c1, c2 e Z gilt: b | a1 und b | a2 => b | (c1*a1 + c2*a2), da:

b | a1 E(t1 e Z) b*t1= a1 => E(t1 e Z) (b*t1)*c1 = a1*c1 | mit c1 erweitern
=> b*(t1*c1) = a1*c1 | Assoziativgesetz
=> b*e = a1*c1 | da t1 und c1 e Z, ist auch deren Produkt in Z (Ring) enthalten. t1*c1 sei e.
=> b | a1*c1 | per Definition

das gleiche Schema angewendet auf b | a2 ergibt insgesamt
E(t e Z) b * t = a1*c1 + a2*c2 => b | (c1*a1 + c2*a2)

@Slater. Gut. Ich war schon wieder beunruhigt. %)

surjektiv: Ist g * f surjektiv, so muss es für jedes c mindestens ein b mit g(b) = c geben, für das gleichzeitig gilt f(a) = b, in anderen Worten: g(f(a)) = c.

bisschen zurechtgebogen, eigentlich gibt die definiton nur her: für alle c aus C existiert ein a aus A mit g(f(a))=c,
den teil 'so muss es für jedes c mindestens ein b mit g(b) = c geben' gilt es zu beweisen

Damit muss g auch surjektiv sein, da – wie oben gezeigt – eine Teilbedingung darin besteht, dass es für jedes c mindestens ein b mit g(b) = c geben muss.

teilbedingung würde ich das nicht gerade nennen,
aber man kann ja FOLGERN:
für alle c existert ein a mit g(f(a))=c -> es existert ein b = f(a) mit g(b)=c -> g surjektiv,

naja kleinkram, kann nicht schaden ;)

bisschen zurechtgebogen, eigentlich gibt die definiton nur her: für alle c aus C existiert ein a aus A mit g(f(a))=c,
den teil 'so muss es für jedes c mindestens ein b mit g(b) = c geben' gilt es zu beweisen

Hmm. Ich finde, das habe ich mit dem folgenden Satz ausreichend getan. Und mein Übungsgruppenleiter fand das auch. ;) Na ja. Ist halt die Bjornsche Lösung. *g*

Slater, willste nicht mal bis zum 25ten hier einziehen? So als mein persönlicher Mathe-Trainer. *g*

ich empfehle dir diesen gewissen übungsgruppenleiter,

grad voll im aktuellen stoff drin und so pflegeleicht [img]http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img]