Zeige mit Hilfe von Theorem 14.4 (Biggs S.310), dass es genau fünf verschiedene Halsketten („necklaces“) mit fünf weißen und drei schwarzen Perlen gibt. Skizziere die fünf Ketten! Hinweis: Vergleiche. Beispiel S.311/312 im Biggs.
Ich komme derzeit auf 4 1/4 verschiedene Ketten. Irgendwie sagt mir dieses Ergebnis: "Ich bin nicht richtig."
8 verschieden Drehungsmöglichkeiten. Hier habe ich 56 Fixpunkte und zwar die von der Identität (8 über 3).
Vier verschiedene Spiegellungen durch gegenüberliegende Punkte. Das habe ich drei verschiedene Kombinationen gefunden, die man je vier Mal anwenden kann. Macht 12 Fixpunkte.
Dann vier verschiedene Spiegellungen durch Achsen. Da sehe ich gar keine Fixpunkte.
Insgesamt 16 Symmetrien: 1/16(56 + 12 + 0) = 4,25.
Hmm… [img]
http://www.fb18.de/gfx/16.gif[/img]
Hmm.. ich zeichne einfach mal 5 verschiedene auf, wenn du beweisen kannst,d ass es nicht mehr geben kann, bist du dann fertig [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
wwwwwsss
wwwwswss
wwwswwss
wwwswsws
wwswwsws
ich hoffe, ich hab nix übersehen.
wwswwwss
Den hast Du übersehen, wenn ich es richtig sehe. Aber das löst jetzt trotzdem noch nicht mein Problem. Bei welcher Symmetrie habe ich noch was vergessen?
wwswwwss
Den hast Du übersehen, wenn ich es richtig sehe. Aber das löst jetzt trotzdem noch nicht mein Problem. Bei welcher Symmetrie habe ich noch was vergessen?
Nein, das ist der 3. von Zaphod (nur andersrum und an 'ner anderen Stelle angefangen)
Hmm.
wwswwwss != wwwswwss | um eins drehen
wswwwssw != wwwswwss | um eins drehen
swwwssww != wwwswwss | um eins drehen
wwwsswws != wwwswwss | um eins drehen
wwsswwsw != wwwswwss | um eins drehen
wsswwsww != wwwswwss | um eins drehen
sswwswww != wwwswwss | um eins drehen
swwswwws != wwwswwss | um eins drehen
Das ist schon mal nicht gleich. Und eine Möglichkeit zum Spiegeln sehe ich auch nicht. Ich behaupte mal weiter, dass es da keine Übereinstimmung gibt und es sich um zwei unterschiedliche Ketten handelt.
Zu zeigen:
wwwswwss und wwswwwss repräsentieren die gleiche Kette.
Beweis:
Man betrachte wwwswwss. Man fange beim 6. Glied an, und gehe nach links, und erhält wwswwwss. Feddich.
wwswwwss = sswwwsww (spiegelung)
= wwwswwss (drehung um 2 nach links)
Es gibt bei den Spiegelungen durch gegenueberliegende Ecken je 6 Fixpunkte, nicht drei. Du kannst eine schwarze Perle "oben" anlegen (also auf der Symmetrieachse) und die anderen beiden spiegelbildlich auf andere Punkte; also drei Moeglichkeiten. Dasselbe dann nochmal mit der ersten schwarzen Perle "unten"…
Du malst es dir doch wohl hoffentlich als Kreis auf und nicht in einer Reihe wie hier in den Postings gezeigt?!
wwswwwss = sswwwsww (spiegelung)
= wwwswwss (drehung um 2 nach links)
Ich war immer noch bei den Symmetrien, die durch einmaliges Anwenden zu einer identischen Ketten führen, weil die führ das Theorem interessant sind. Mein Fehler…
Ja, ich male mir das als Kreis auf:
x
o o
x x
o o
o
Mit drehen kommen da schon mal vier zusammen. Das gleiche bei:
x x
x x o o
o o o o
o o x x
o o
Das sind meine insgesamt zwölf. Und wenn ich Faleiro jetzt richtig verstehe. Hätte ich eigentlich jede dieser drei Anordnungen, pro Symmetrie doppelt zählen müssen, bzw. auch immer deren Spiegelbild?
Also, ich weiss nicht, ob wir uns ueberhaupt richtig verstehen. Mit Drehen hat das meiner Meinung nach nichts zu tun, wir sind ja beim "Spiegeln an einer durch zwei gegenueberliegende Perlen gehenden Achse". Gesucht sind alle Perlenverteilungen, die durch Anwendung dieser Spiegelung immer noch gleich aussehen.
(einige Minuten spaeter) ich checke das irgendwie nicht mehr. Wenn ich die Anfangsperle oben hinlege, ist das das selbe wie wenn ich sie unten hinlege, denn wie ich einen Graphen hinmale, ist ja nicht definiert… irgendwo steckt da noch ein Denkfehler bei mir…
Nein, das eben war wohl doch eine falsche Faehrte…
Mein Votum:
x x x o o o
x x o o o o x x o o o o
o o x x o o o o x x o o
o o o o x x o o o o x x
o o o x x x
Nur so komme ich auf 6 Stueck pro Durch-die-Knoten-Spiegelungsachse.
edit : argh, diese code-geschichte….
edit2: ich gebs auf, bei mir siehts trotzdem falsch dargestellt auf… kauf mal ne neue html-bibel ;-)
also zunächsteinmal sind es 7 Drehungen und nicht 8, denn die 8. Drehung wäre die ID :)
Die Rechnung kuz zusammengefasst wäre 1/16(56 + 7*0 + 4*0 + 4*6) = 1/16(56+24) = 5
Die IDs hattest du aj richtig mit 56,.
Drehungen ebenfalls : 0 Fixpunkte
und die 4 Spiegelaxen jeweils zwischen den "Perlen" auch 0
bleibt noch die 4*6 zu erklären wo auch der Fehler lag.
Es gibt 4 verschiedene Achsen. Es liegt jeweils eine schwarze perle auf der achse und 2 andere sind symmetrisch zueinander (oder wie sagt man???) platziert. Für die smmetrischen platzierungen gibts 3 verschiedene möglichkeiten (beide oben,mitte oder unten bzw links mitte rechts, je nachdem wo gerade die achse ist)
das ganze haben wir dann nochmal wenn wir die weiße udn die schwarze perle auf der achse vertauschen, sprich wir haben 2*3. 4 Achsen also 4*(2*3)=4*(6)
Man kann die Spiegelungen auch nocha nders angehen in dem man immer anstatt 4 Achsen 8 sieht, man unterscheidet also quasi die Enden der Achsen. In dem fall hätte man 8*3 was natürlich das gleiche ergebnis ist. Ich habs in der Übung damals so gemacht aber in der Musterlösung haben sie es mit 4*6 gemacht.
edit: na ja war n bissel spät von mir. faleiro war schneller mit den 6 kombinationen einer achse :(
… das scheint nichts für mich zu sein. *g* Klar sind das die Sechs… Ich hatte die nur schon wieder raus, weil ich die zwischenzeitlich wegen "moment, wenn ich da spiegel ist das ja das gleiche" rausgenommen. Aufgaben zum leicht mal Durcheinanderkommen, fahren bie mir recht gut. %)
Idenität habe ich deswegen mit zu den Drehungen genommen, weil Günther auch gerne mal von einer Drehung um 0° gesprochen hat.
edit2: ich gebs auf, bei mir siehts trotzdem falsch dargestellt auf… kauf mal ne neue html-bibel ;-)
http://www.avantbrowser.com/ ;)
a) Laeuft nur unter Windows,
b) Laeuft nur mit IE.
Also Rueckschritt auf der ganzen Linie ;-)
Leider (noch) nicht.
Aber ich arbeite dran.
