Hallo,
ich hab noch einmal Stress…
Woher weiss ich das
(1 + 2x + … + 2^nx^n + …) = (1-2x)^-1 ist.
Oder???
(1 + …. + nx^n-1 + …) = (1-x)^-2 ist?
Gibt es da eine einfache Formel.
I am confused!!!
danke
kr
siehe hier in meinen ausschweifenden ausführungen
http://3773.rapidforum.com/topic=101585511361&search=&reverse=1?das kommt in M2 analysis dran
edit
ey da warst du ja auch der fragende, wieso denn nochmal.. [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img],
wenn du teile davon nicht verstehst dann must du dich schon genauer ausdrücken
hey slater,
deswegen habe ich doch geschrieben, für die "Blöden" bitte noch einmal! Ich brauch es für mein Hirn ganz easy, obgleich ich die M2/M3 Klausur schon hinter mir hab!!!
ciao
kr
M2/M3 klausur nicht prüfung?
wie auch immer,
und deswegen schreib ich nochmal: an welchen schritt liegt es denn, was verstehst du nicht?,
das war ja nicht irgendein einzeiler dort, sondern schon recht ausführlich
nochmal der erste teil
1 + 2x + … + 2^nx^n + …
= 1 + 2x + … + (2x)^n + …
= (2x)^0 + (2x)^1 + …
= y^0 + y^1 + y^2 + … für y= 2x
dies ist die geometrische reihe, die sollte man kennen,
die konvergiert für y<1, also x< 1/2, das kann man z.b. per quotienenkritierium erkennen:
sei a(n) = y^n
dann ist a(n+1) / a(n) = y^n+1/y^n = y für alle n,
grenzwert davon ist also auch y < (1+y)/2 < 1 also konvergent
und der trick wie schon geschrieben, mit x statt y:
sei summe n = (1 + x + x^2 + … +x^n)
dann ist
(1-x)*(summe n)
= summe n - (x * summe n)
= 1 + x + x^2 + … x^n - x - x^2 - x^3 - … -x^n+1
= 1 - x^n+1
lässt man n gegen unendlich laufen geht x^n+1 gegen 0 da x<1
also ist
(1-x) * summe n = 1 - 0 = 1 für n gegen unendlich
-> summe unendlich = (1 + x + x^2 +x^3 + … bis unendlich) = 1/(1-x)
naja und beim zweiten teil gehts auch nicht mehr viel einfacher ;)
formeln gibts da keine, bzw. die formel ist das was du da unten hingeschrieben hast, und das, wonach du fragst, ist ein beweis dafür
formeln gibts da keine, bzw. die formel ist das was du da unten hingeschrieben hast, und das, wonach du fragst, ist ein beweis dafür
Halt, Moment, es gibt dafür eine Formel, und die steht im Biggs S.410:
(1-ax)^(-m) = 1 + max + … + (m+n-1)über(n)*a^n*x^n + …
Wichtig für morgen scheinen aber nur die obengenannten zu sein.
SK
Hallo SK,
wie wendet man die denn darauf an? Ich seh das nich..
danke
kr
Slater,
danke für deine ausführliche erklärung,
ist mir aber echt zuuuu kompliziert.
meine birne verkraftet heute nicht mehr so viel.
ich hatte auf was leichtes gehofft!!!
(1-ax)^(-m) = 1 + max + … + (m+n-1)über(n)*a^n*x^n + …
oh, die sieht ja interessant aus,
wieder was gelernt,
worum gehts bei den ganzen kram eigentlich?,
ist das immer nur für ax<1 definiert oder allgemein?
Hallo SK,
wie wendet man die denn darauf an? Ich seh das nich..
danke
kr
Wenn z.B. a=1 und m=1, ergibt sich die Formel
(1-x)^-1 = 1 + x + x^2 + x^3 + … + 1^n*x^n
für a=2 und m=1 hat man
(1-2x)^-1 = 1 + 2x +4x^2 + 8x^3 + … + 2^n*x^n
für a=1 und m=2 bekommt man
(1-x)^-2 = 1 + 2x + 3x^2 + … + (n+1)x^n
oder nur für m=1
(1-ax)^-1 = 1 + x + … + a^n*x^n
und das ist eine Formel, die wir in den Übungen gebraucht haben.
Mr. Günther hat in der Übung aber inoffiziell gesagt, dass die Lösung einer inhomogenne Rekursion so zeitaufwendig ist, dass sie sich nicht als Klausuraufgabe eignet. In den Klausuren früherer Jahre ist das auch nur einmal mit sehr einfachen Zahlen (bei Andrae) drangekommen. Man kann hoffen, dass das Morgen nicht der Fall ist und wir davon verschont bleiben.
Schöne Grüße,
SK
(1-ax)^(-m) = 1 + max + … + (m+n-1)über(n)*a^n*x^n + …
oh, die sieht ja interessant aus,
wieder was gelernt,
worum gehts bei den ganzen kram eigentlich?,
ist das immer nur für ax<1 definiert oder allgemein?
worum gehts bei den ganzen kram eigentlich?,
ist das immer nur für ax<1 definiert oder allgemein?
Es geht hierbei um generierende Funktionen und das Spielen mit Polynomfunktionen.
Mit (1-ax)^-1 ist das Inverse von (1-ax) gemeint. Eigentlich sollte man da für x nie etwas einsetzen, da es sich um Polynomfunktionen handelt. Aber wenn du etwas einsetzt, müsste das auch noch stimmen. Für alle a's und x's mit ax != 1.
SK
danke sk,
das hilft…
ich denke auch nicht, dass es dran kommt,aber man weiss ja nie.
ciao und viel glück morgen
kr
