hi leude.
Ich hab mal eine ganz doofe frage. die Elemnte von z.B. Z3
sind das nur 0,1,2 oder -2,-1,0,1,2 ???
Und dann noch ne frage zu Aufgabenblatt 11 Übungsaufgabe 4
Stimmt es, das U(Z) = {-1 , 1} und die Gruppe zyklisch ist, da durch -1 generiert???
Antwort wäre schnellstmöglich nett.
sind das nur 0,1,2 oder -2,-1,0,1,2 ???
-1 = 2; -2 = 1; -3 = 3 = 0;
Stimmt es, das U(Z) = {-1 , 1} und die Gruppe zyklisch ist, da durch -1 generiert???
Respektive der Multiplikation ist das richtig.
MoKrates
in Z3 sind nur die Elemente [ 0 ]3, [ 1 ]3, [ 2 ]3 vorhanden, die sog. Restklassen mod 3:
[ 0 ]3 = [-3]3 = { …, -6, -3, 0, 3, 6,…}
[ 1 ]3 = [-2]3 = { …, -5, -2, 1, 4, 7,…}
[ 2 ]3 = [-1]3 = { …, -4, -1, 2, 5, 8,…}
abkürzend einfach 0, 1, 2 genannt.
Stimmt es, das U(Z) = {-1 , 1} und die Gruppe zyklisch ist, da durch -1 generiert???
Respektive der Multiplikation ist das richtig.
MoKrates
U(Z3) bezeichnet die invertierbaren Elemente in Z3, oder auch "Einheiten" genannt, wie mir mal jemand gesagt hat.
Es geht hier doch um U(Z3), da sind alle Elemente invertierbar. D.h. U(Z3) = Z3 = {0,1,2}
Das gilt für jedes Z mod Primzahl.
SK
PS. Zyklisch ist diese Gruppe trotzdem. Man betrachte die Addition.
Es ging nur zuerst um Z3 und danach um das "wirkliche" Z in beiden Faellen mit der Multiplikation.
Nochmal zu deinem P.S. : Eine Gruppe ist eine Menge mit *einer* Verknuepfung. Die Gruppe ist zyklisch, wenn es ein Element gibt das die Gruppe generiert. Man kann sich also nicht einfach die Verknuepfung aussuchen die man gerade braucht (in den Klausuren wird ja meist auch nach inversen bezgl. der Multiplikation gefragt und nicht nach denen der Addition). U(Z3) ist allerdings auch zylisch bezgl. der Multiplikation (wird von 2 generiert).
Cheers,
Frank
Nochmal dazu, wann eine Gruppe zyklisch ist. Wenn wir wieder die Z_prim nehmen, dann kann man sich tatsächlich die Verknüpfung aussuchen!
Ein Satz besagt nämlich, dass alle Gruppen, die eine Primzahl als Ordnung haben isomorph zur zyklischen Gruppe C_prim sind. Dann ist es egal, welche Verknüpfung man für die Gruppe wählt, alle müssen zyklisch sein.
Gruß,
SK
