Hallo,
ich hab da nochmal Stress mit den Potenzreihen:

Wenn ich folgendes habe: (x^3 + 2x^4 + … + nx^n+2 ++)

Wie kann ich denn erkennen, dass es zu

x^3(1 - x)^-2

mutieren kann?

Also, dass das x^3 ausgeklammert wird, ist mir klar, aber warum nun ^-2 usw. ist mir nicht klar..

ich bitte um euer feedback

viele grüße,

kr

edit
mal besser gelöscht,
ist also die reihe n * x^(n-1), deren summe 1/(1-x)^2 ist für x<1, was noch zu beweisen wäre ;)

der kram steht auf seite 419 im biggs.

die frage war wie macht er das.

Aus
x + (x^3 + 2x^4 + … + nx^n+2 +…)

gleich
x + x^3(1 - x)^-2


Das verwirrt mich!!!

oh ja, geh ich mir gleich mal kaufen ;),


steht im buch und hat keine weiteren erklärungen?

hast du im biggs schon mal eine verständliche erklärung gefunden??? ich nicht!!!

also gut, dann werd ich mal begründung üben,
wird bisschen unspannend wenn du noch nicht analysis hattest ;):

zunächst braucht man mal eine vereinfachung der reihe
(1 + x + x^2 +x^3 + … bis unendlich) für x<1

hierfür verwendet man folgenden trick:

sei summe n = (1 + x + x^2 + … +x^n)

dann ist

(1-x)*(summe n)
= summe n - (x * summe n)
= 1 + x + x^2 + … x^n - x - x^2 - x^3 - … -x^n+1
= 1 - x^n+1

lässt man n gegen unendlich laufen wird x^n+1 -> 0 da x<1

also ist
(1-x) * summe n = 1 - 0 = 1 für n gegen unendlich
-> summe unendlich = (1 + x + x^2 +x^3 + … bis unendlich) = 1/(1-x)



(x^3 + 2x^4 + … + nx^n+2 +…) ist nun eine reihe

erst mal konstant x^3 ausklammern, dann bleibt
(1 + 2x + 3 x^2 + …) übrig

das konvergiert für x<1 (quotientenkriterium),
und da alle glieder positiv sind, konvergiert das absolut

dann schreiben wir das bisschen anders auf:
(1 + x + x + x^2 + x^2 + x^2 + …)

noch ein bisschen anders:

(x^0 x^0 + x^0 x^1 + x^1 x^0 + x^0 x^2 + x^1 x^1 + x^2 x^0 + …)


und nun mal als fläche:

x^0 x^0 + x^0 x^1 + x^0 x^2 + ... + x^1 x^0 + x^1 x^1 + ... + x^2 x^0 + ... + ...
schon haben wir eine doppelreihe,
da die reihe absolut konvergiert, können wir auch nach
spalten und zeilen summieren,

jede zeile n hat die form x^n x^0 + x^n x^1 + x^n x^2 + …,
da kann man die konstante x^n ausklammern und es bleibt
zeile n = x^n * (x^0 + x^1 + x^2 + …)
= x^n * 1/(1-x) (beweis ganz oben)

die summe aller zeilen ist dann
x^0 * 1/(1-x) + x^1 * 1/(1-x) + x^2 * 1/(1-x) + …
= 1/(1-x) * (x^0 + x^1 + x^2 +..)
= 1/(1-x) * 1/(1-x)
= (1-x)^-2

und mit den ausgeklammerten x^3 das verwirrende x^3(1-x)^-2 [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Wow. Slater! Wow!
Aber ich glaube, es reicht, einfach zu *wissen*, dass \sum_{i=0}^{\infty} ix^i = (x-1)^-2 ist.

MoKrates

Ja, Mo.. für 13 Punkte reicht das [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]

Sh** your f*** m*** up! §$//(§$

MoKrates