Moin erstmal,

es geht um Ausgew. Aufgaben und Lösungen II, Aufgabe 8a und b.

Das Prinzip habe ich ja so weit verstanden und ist ja auch sonst nicht weiter wild.

ABER, was ich einfach nicht verstehe:
Wie kommt man immer auf Terme unter A, B und C? Das sind doch eigentlich die Nullstellen des Nennerplynoms.

zB. bei a) gleich dei erste Zeile:

1-3x^2+2x^3 = 2(x-1)^2(x+1/2) = (1-x)^2(1+2x)

Wie man auch Nullstellen kommt weiß ich auch, aber wo kommt die 2 vor (x-1)^2(x+1/2) her? Das Quadrat weil 1 doppelt ist aber die 2?

Genau so die erste Zeile in b)

6-11x+6x^2-x^3= (1-x)(2-x)(3-x)

Was sind denn da die Nullstellen? Und wie kommt man dann auf (1-x)(2-x)(3-x)?

Entweder bin ich einfach zu blöd oder ich sehe den Wald vor Bäumen nicht.

Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.


PS: Blatt 13 soll nicht in der Klausur vorkommen?

Wenn ich recht verstehe gehts kommst du mit dem Vorgang der Partialbruchzerlegung nicht richtig klar. Habe Leider die Aufgaben nicht vor mir daher kann ich dir nur die Methodik erklären ohne richtiges Beispiel, das aufgeht.

nehmen wir an du hast den gleichung

1+x-4x^2
————-
6-11x+6x^2-x^3

und diesen willst du in Partialbrüche zerlegen. Zuerst den Nenner in lineare Faktoren zerlegen, in dem man nullstellen bestimmt. Da gibts viele möglichkeiten, ich probiere erst eine Nullstelle aus und mache dann polynomdivision. das so lange bis ich nru noch lineare Faktoren habe.
Die umformung hattest du ja schon angegeben
6-11x+6x^2-x^3= (1-x)(2-x)(3-x)
der Term hat also die Nullstellen 1,2,3
Da du 3 Nullstellen hast muust du den Burch auch in 3 Teile teilen, sprich:
(man kann das hier graphisch schlecht darstellen, ein _ ist daher ein Leerzeichen)

1+x-4x^2_____________A_________B________C___
————-_____=__—–__+__—–__+__—–
(1-x)(2-x)(3-x)_______(1-x)_____(2-x)_____(3-x)

Um, nun A,B,C, also die Werte über den Brüchen (den linearfaktoren) zu bestimmen gibt es mehrere Möglichkeiten. Ich werde 2 davon durchgehen. Zuerst die Cover-UP Methode, die schön schnell ist, aber vielelicht nicht ganz einleuchtend udn auch nicht immer geht, z.b. bei Mehrfachvorkommen von Nullstellen. Dazu einfach im Biggs nachlesen
Fangen wir mit A an. A ist über dem Term mit der Nullstelle 1. Multipliziere ich dei Gleichung mit (1-x), kürzt es sich auf der Linkenseite im Nenner weg, unter A ebenfalls und vor B,C steht jeweils (1-x). wenn ich nun für x=1 setze werden B,C=0 und können vernachlässigt werden. Im linken Term auch x=1 setzen und ausrechnen

(diesmal ohne Bruchstrich weils nicht schön geht)

A = (1+1-4*1^2) : (2-1)(3-1)

A = -2 : 2

A = -1

Das gleiche machen wir für B und C, nur halt mit deren NUllstellen. Bei B haben wir die Nullstelle 2, Multiplizieren beide seiten mit (2-x), setzen x=2, A und C werden 0 und der Nenner der linken seite reduziert sich auch (1-x)(3-x), folglich haben wir

B = (1+2-4*2^2) : (1-2)(3-2)

B = -13 : -1

B = 13

Die zahlen sind hier n bissel hoch weil ich mir den Zähler Ja ausgedacht hatte. Das gleiche macht man nun noch für C, und dann substituiert man die werte, die man ausgerechnet hatte. Dann hat man die Partialbruchzerlegung

…im nächsten Posting das ganze ohne Cover-Up

Wenn wir das ohne Coverup machen, lösen wir die Gleichung erstmal zum Zähler der linken Seite hina uf, also nach 1+x-4x^2, sprich wir multiplizieren beide Seiten mit den 3 linearfaktoren des nenners. Dann erhalten wir:

1+x-4x^2 = A(2-x)(3-x) + B(1-x)(3-x) + C(1-x)(2-x)

nun brauchen wir 3 Gleichungen da wir 3 Unbekannte haben die wir bestimmen wollen. Die kann man auch über verschiedene Arten herleiten, ich mache am liebsten den Koeffizientenvergleich. Wer damit probleme hat sollte vielleicht noch die faktoren hinter A,B,C ausmultiplizieren, ich lasse das jetzt weil ich eh nicht zu ende rechne und es meistens auch im Kopf geht.
zuerst der konstante Term (der koeffizient von x^0). das ergibt
1 = 6A + 3B + 2C

dann den Koeffzientenvergleich von x^1:
1 = -5A -4B -3C

und für x^2:

-4 = A + B + C

Die gleichungen dann lösen bis man Werte für A,B,C hat und substituieren.


Hinzufügen möchste ich noch, falls du die Partialbruchzerlegung machst um eine explizite Formel für eine Rekursion zu finden solltest du die linearen Faktoren (die Nullstellen) umformen, so dass du immer (1-ax) hast. Dies lässt sich nachher nämlich leichter in eine Potenzreihe umformen die du brauchst um den Koeffizienten zu bestimen. Das steht im Biggs wie man das macht irgendwo bei dem Themen Generating Functions HLR, NHLR.
(3-x)=(1-1/3x) z.B.
Das Prinzip bei der Partialbruchzerlegung bleibt natürlich das gleiche und daher habe ich es hier nicht gemacht.

Danke erstmal für diese ausführliche Erklärung. Lob und Respekt!

Leider hat das meine Frage aber noch nicht beantwortet. Wie ich oben schon geschrieben habe ging es mir haupts. um die Nullstellen, die dann unter A,B und C stehen.

Warum:
6-11x+6x^2-x^3= (1-x)(2-x)(3-x)

Und nicht:
6-11x+6x^2-x^3= (x-1)(x-2)(x-3)

Ich weiß, letzteres kommt nicht hin. Aber wenn ich die erste Nullstelle finde durch Probe teile ich doch mit Polynomdiv. durch x-1 und nicht 1-x.

Wenn ich durch x-1 teile komme ich auf eine schöne Quadr. Gleichung mit der ich dann auf die Nullst. 2 und 3 komme.
Also:
(x-1)(x-2)(x-3)

Wenn ich das jetzt zusammen rechne kommt aber genau das Gegenteil raus: x^3-6x^2+11x-6

Hängt das irgend wie mit dem "-" vor der höchsten Potenz zusammen??? Oder denke ich jetzt total quer?

Hängt das irgend wie mit dem "-" vor der höchsten Potenz zusammen???

Ja, tut es!
Wenn du es auf altbekannte Weise rechnen möchtest klammere doch im ersten schritt -1 aus, das kannste nacher wieder reinrechnen