Hallo, Hallo,

Bestimmung der ersten (fünf) Terme einer Potenzreihe! Wie gehe ich denn da am einfachsten vor.
Hab gehört, angeblich Zähler durch Nenner des Polynoms teilen???
Hat da jemand was genaueres??

Würd mich echt freuen..

Danke

KR

Also eigentlich ist auch nicht viel mehr dran. Das ganze ist nichts anderes als Polynomdivision, nur das man kein Polynom herausbekommt sondern eine unendliche Potenzreihe und daher lautet meist die Aufgabenstellung, nur die erste 4 oder 5 Terme zu bestimmen.
Ich werde mal versuchen ein Beispiel zu rechnen aber ich glaube, das wird nicht sehr übersichtlich. Außerdem kann ich es auch graphisch nicht so anordnen wie es im Biggs gemacht wird, sieht also n bissel nach schule aus aber das Prinzip is ja das gleiche :)

nehmen wir als beispiel 1+3x : 1-2x+x^2 (Bruchstrick kann ich net machen)


1+3x : 1-2x+x^2 = 1+5x+9x^2+13x^3
1-2x+x^2
——–
5x-x^2
5x-10x^2+5x^3
————-
9x^2-5x^3
9x^2-18x^3+9x^4
—————
13x^3-9x^4
13x^3-26x^4+13x^5
—————-
17x^4-13x^5

(das einrücken klappt leider nicht. die leerzeichen löscht er)

Ich höre mal bei den ersten 4 auf weil mir die Koeffizienten zu hoch werden. Das Beispiel ist auch im Biggs S. 402.
Ich versuche nochmal mit worten zu erklären was man macht obwohls eigentlich ja logisch ist.
Den ersten Term deines Ergebnisses findest man, indem Der Erste Term des nenners so multipliziert wird, dass er gleich dem ersten Term des Tählers ist. In diesem Fall eine 1. Dann werden wie bei der Polynomdivision auch die anderen Terme des Nenners mit dem ersten Ergebnis multipliziert und danach alles von dem Zähler abgezogen. Das ergibt in unserem beispiel 5x-x^2. Jetzt suchst du wieder einen Faktor mit dem du 5x erhälst. Da in unserem Nenner der erste term 1 ist ist es einfach, nämlich 5x. Den multiplizierst du wieder mit den anderen Termen des Nenners und subtrahierst alles von 5x-x^2. Man erhält 9x^2-5x^3.
Das Schema sollte jetzt klar sein…
Ich hoffe das war ausführlich genug :)

Tausend Dank [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Super Erklärung!!!
KR

Hallo,

noch eine Sache.
Es gibt auf Blatt 12 (B), Aufgabe 3a) und b) eine Aufgabe. Bestimme die ersten 5 Terme. Ok, kein Problem.

Aber: Finde eine explizite Formel! Wie gebe ich denn eine Rekursion für die Koeffizienten an???

Ich bitte um Info.

Danke
KR

Wenn du die Rekursion finden willst, hilft dir leider die Polynomdivision nicht weiter. Wenn man die Faktoren auf eine andere Art bestimmt, komtm man auf die Rekursion:

1-x U(x) = ------------ = u0 + u1x + u2x^2 + u3x^3 + ... 1-8x+15x^2 Multipliziere die Gleichung mit (1-8x+15x^2): 1-x = (1-8x+15x^2)(u0 + u1x + u2x^2 + u3x^3 + ...) ausmultiplizieren: 1-x = 1u0 + (u1 - 8u0)x + (u2 - 8u1 + 15u0)x^2 + (u3 - 8u2 + 15u1)x^3 + ... Nun führen wir einen Koeffizientenvergleich durch, d.h. wir vergleichen jeweils auf beiden Seiten die Koeffizienten vor 1, x, x^2 etc.: 1u0 = 1 u1 - 8u0 = -1 u2 - 8u1 + 15u0 = 0 u3 - 8u2 + 15u1 = 0 ... allgemein: un+2 - 8un+1 + 15un = 0 So bekommt man für a) raus durch errechnen: 1 + 7x + 41x^2 + 223x^3 + 1169x^4 + 6007x^5 + .... für b) hat man nun eine schöne allgemeine Formel (un+2 - 8un+1 + 15un = 0), die man nach dem üblichen Verfahren lösen kann.

Danke Dir Triphoenix [img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]
Super Erklärung