Hallöle,

kann mir mal jemand den Dualraum (19.19) bzw. das duale System bi* zu einer Basis bi (19.21) erklären, und darauf aufbauend die Phi-Matrizen (19.29)? Eigentlich müssten doch bei (19.29) nach Anwendung der Funktion f auf die Basis tj und anschließendem si* auf das Ergebnis alle Werte zu 1 bzw. 0 werden (wegen Kronecker) und dadurch En oder etwas ähnliches entstehen. Beim Beispiel (19.30) (2) sucht sich das duale System si* blos einzelne Werte aus f(tj) heraus und multipliziert sie mit 1 (den Rest anscheinend dann mit 0). Aber wenn si*(f(tj)) = delta ij ist, wie soll das denn dann funktionieren?!? delta ij = 1 * f(tj), oder wie jetzt?Verwirrt ich bin…

Ich weiss nicht worauf du mit (19.19) etc. Bezug nimmst, ist damit evtl. ein Mathe-Skript gemeint?
Aber allgm. ist ein Dualraum folgendes:

Wenn du einen K-Vektorraum V hast (K sei hier ein Koerper - Theorie geht teilweise auch mit Ringen, hier solls jetzt aber ein Koerper sein), dann ist

V* := { f: V -> K | f ist linear }

der Dualraum von V. In V* sind also alle Abbildungen f, die von dem K-Vektorraum V nach K abbilden und zusaetzlich linear sind.

Wenn du nun eine Basis B =(v1, v2, … , vn) von V hast (also n Vektoren), dann ist stets B* = (v1*, v2*, …, vn*) eine Basis von V*. Nun muss man natuerlich die vi* noch definieren. Zu beachten ist dass dies (siehe obige Def von V*) Abbildungen sind! Sie werden wie folgt definiert:

vi* : V -> K mit vi*(vj) = 1 wenn i = j und sonst 0

Obige Definition eines Dualraums ist eine Definition (da gibt es eigentlich sonst nichts zu "verstehen", das ist so) das nachfolgende mit der dualen Basis ist ein Satz, der zu zeigen ist, dazu muss man gucken ob man jedes f E V* durch linearkombination der obigen vi* erzeugen kann - und das kann man. (Das heisst man sucht a1, a2, … an so, dass
f = a1 * v1* + … + an * vn*.
Durch einsetzen von vi folgt f(vi) = ai und man erhaelt die ai und kann jedes f E V* als Linearkombination der vi* ausdruecken.)

Leider was ich jetzt nicht, was mit Phi-Matrizen gemeint ist, darum geht's hier erstmal nicht weiter [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

Cheers,
Frank

19.29 besagt, das 2 Basen aus 2 Vektorräumen mit der Basis si aus dem dualen System von s in einer Schreibweise ausgedrückt werden können, die die Matrix von f bezüglich der Basen t, s ist. f ist eine homomorphe Abbildung von dem einen Vektorraum in den anderen.
Das ist dieses komische Matrizen-Symbol mit den 2 Basen (f):= (si verkettet mit f angewandt auf tj mit i,j aus I Kreuz J.

Was ich mich jetzt frage: Wieso soll durch die Anwendung von f eine Einheitsmatrix entstehen? Ich meine, guck dir doch mal das Beispiel auf der nächsten Seite an. Das sollte doch verdeutlichen, was die Kernaussage von 19.29 ist..

Also so langsam verwirrst du mich auch mit deinem Post… Hab ich den M3 Schein zu unrecht bekommen? [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]

Ich meine, guck dir doch mal das Beispiel auf der nächsten Seite an. Das sollte doch verdeutlichen, was die Kernaussage von 19.29 ist..

Na, ich wusste doch schon nicht was du mit (19.19) meinst, daraus kann man doch schliessen, dass ich das Skript nicht habe, oder [img]http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img]

Also so langsam verwirrst du mich auch mit deinem Post… Hab ich den M3 Schein zu unrecht bekommen? [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]

Wie, mein Posting verwirrt dich?! Und ich hab' mir soviel Muehe gegeben [img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]
Nein, ernsthaft, das Posting sollte klar sein, das eine ist eine Def. (fuer den Dualraum V*), das zweite ist ein Satz wie man auf eine Basis dieses Dualraums kommt (wenn man denn eine Basis von V hat) mit einer (zugegeben kurzen) Beweisskizze.

Cheers,
Frank

Ich hab eigentlich mit Strömbad geredet. Aber wenn du dich angesprochen fühlst. *g* Für dich hab ich den ganzen Kram gerad erzählt [img]http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img]