Hallo,

..und noch ein Problem:

Finde die irreduziblen Faktoren von x^4 + 1 in Z3[x]

x^4 + 1 in Z3[x] Z3={0,1,2}

0^4 + 1 = 1 1^4 + 1 = 2 2^4 + 1 = 2

Es gibt keine linearen Faktoren

x^4 = (x^2 + Ax + B)(x^2 + Cx + D)

A,B,C,D € Z3

=>

(i) A+C = 0
(ii) B + D + AC = 0
(iii) AD + BC = 0
(iv) BD = 1

A = 1
B=C=D = 2

damit

x^4 + 1 = (x^2 +x +2)(x^2 +2x +2)


1.) Wie komme ich auf die Gleichungen?
2.) Was wäre, wenn es lineare Faktoren gäbe????

ich pick das nicht und schon gar nicht, was im Bixxx steht.

Vielen Dank für Eure Hilfe ;-)))

Grüsse,
KR

Finde die irreduziblen Faktoren von x^4 + 1 in Z3[x]
0^4 + 1 = 1 1^4 + 1 = 2 2^4 + 1 = 2
Es gibt keine linearen Faktoren

Zu jedem linearen Faktor gehört eine Nullstelle und umgekehrt. Alle 3 Möglichkeiten für eine Nullstelle ausprobiert - es gibt keine, also gibts auch keine linearen Faktoren.

Wenn es keine Linearfaktoren gibt, gibt es entweder 2 quadratische Faktoren, oder das Polynom ist in sich schon irreduzibel.

x^4 = (x^2 + Ax + B)(x^2 + Cx + D)

Das soll wohl heissen:
x^4 + 1 = (x^2 + Ax + B)(x^2 + Cx + D)
Distributivgesetz:
x^4 + 1 = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx^3 + ACx^2 + BCx + Dx^2 + ADx + BD
nochmal Distributivgesetz:
x^4 + 1 = x^4 + (A+C)x^3 + (B+D+AC)x^2 + (AD+BC)x + BD
Koeffizientenvergleich für x^3, x^2, x^1 und x^0 (bei x^4 ist ja nicht viel zu vergleichen)

(i) A+C = 0
(ii) B + D + AC = 0
(iii) AD + BC = 0
(iv) BD = 1

A = 1
B=C=D = 2

damit

x^4 + 1 = (x^2 +x +2)(x^2 +2x +2)

1.) Wie komme ich auf die Gleichungen?

Soweit jetzt klar?

2.) Was wäre, wenn es lineare Faktoren gäbe????

Dann teilst Du (Polynomdivision) durch den Linearfaktor und rechnest da weiter.

Super,
danke Dir für Deine gute Erklärung.
Was würde man aber bei

x^3 + 3x^2 + 1 in Z11 machen?

(x + A)(x^2 + Bx + C)


Oder wie würde man da rangehen?

Danke
Ciao,
KR

wenn es eine Zerlegung der Form:

f(x) = (x + A)(x^2 + Bx + C)

gibt, dann folgt daraus
f(-A) = 0
nach Th. 15.8.1 im Biggs, also genau das 'lineare Faktoren mit Einsetzen suchen' vom Anfang. Falls es kein solches A (bzw. -A) gibt, folgt dass f(x) schon irreduzibel ist.
Probier einfach alle x von Zx durch (bei Z11 sind mir das schon zu viele [img]http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img] )

-Felix

Hallo,
das versteh ich nicht!
Wenn man

x^3 + 3x^2 + 1

habe! Wie würdet ihr vorgehen, um den irreduziblen Faktor zu finden?

danke
kr

Genau wie im ersten Beispiel: raten!
Zur Not musst Du alle 11 möglichen Nullstellen ausprobieren.

Alternativ funktioniert sicher auch die Möglichkeit mit Koeffizientenvergleich (hab ich jetzt nicht ausprobiert…)

und was mache ich, wenn ich keine Nullstelle damit hinkriege??

Wenns keine Nullstellen gibt, gibts auch keine linearen Faktoren, so einfach ist das. Wenn Dein Polynom vom Grad 3 ist, bist Du dann schon fertig, bei Grad 4 gibts eventuell noch Teiler vom Grad 2.

ahh ok.
und wenn es eine Nullstelle gibt teile ich das Polynom durch die Nullstelle? Was mach ich mit dem Ergebnis? Ist das ein irreduzibler Faktor???
danke
kr

und wenn es eine Nullstelle gibt teile ich das Polynom durch die Nullstelle?

Genau.

Was mach ich mit dem Ergebnis? Ist das ein irreduzibler Faktor???

Nein, das untersuchst Du weiter.

Also bei Grad 3 brauchst du nur im schlimmsten Fall teilen, weil es nur 2 mögliche Zerlegungen gibt, nämlich:

1. (x^2 + A^x + B) (x + C)

oder

2. (x + A) ( x + B) (x + C)

Falls du also schon einen Linearfaktor gefunden hast (z.B. mit a), trotzdem noch die restlichen Möglichkeiten ausprobieren. Falls es keine weiteren Linearfaktoren mehr gibt, dann einmal durch (x - a) teilen und du erhälst 1. und bist fertig. Ansonsten findest du noch zwei weitere (z.B. b und c) und erhälst 2. mit (x-a) (x-b) (x-c) und bist fertig. Und falls du überhaupt keinen Linearfaktor findest, machst du garnichts und bist auch fertig [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]

-Felix

dann ist also Aufgabe 4b von Blatt 11 schon selbst irreduzibel, oder?

x^2+2 in Z5…

Ist also

x^2+2=(x+A)(x+B)=X^2+(A+B)x+AB

Dann ist
AB=2
A+B=0

dafür gibt es doch keine Lösung oder ???

…wie man durch Einsetzen leicht nachweist. Du brauchst ja nur zu gucken:
Wenn A=0 ist, dann ist B=5, 0*5 = 0 != 2
Wenn A=1 ist, dann ist B=4, 1*4 = 4 != 2
Wenn A=2 ist, dann ist B=3, 2*3 = 1 != 2
fertig, wg. Kommutativität der Addition.

wie gesagt, es ist doch eigentlich schon viel zu aufwendig, irgend was umzuformen, einfach nur stumpfsinnig 0, 1, 2, 3, 4 für x einsetzen, fertig..

Hallo,

diese irriduziblen Faktoren überfordern mich:
Angenommen ich habe folgende Gleichung:

x^3 + 5x^2 + 5 in Z11[x]

Hat dazu jemand den Lösungsweg? Ich hab nur das Ergebnis!

(x+8)(x+9)x+10)

Ich raff absolut nicht, wie man darauf kommen soll?!

Ich dachte, Linearfaktoren durchgehen.

Bei f(1) = 0 raus! Was mache ich dann???

Ich bitte um Euer Feedback.

Danke:-)
Viele Grüße
KR

Wenn du dich in Körpern wie Zn mit kleinem n aufhältst, dann ist der einfachste Weg das Einsetzen. Dann erhältst du alle Nullstellen des Polynoms.
Ist der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der Nullstellen (r), dann ist die Zerlegung in irreduzible Faktoren einfach:
(x-n1)(x-n2)…(x-nr)
Ansonsten musst du eben durch alle deine Nullstellen teilen und erhältst noch einen Rest, welcher keine Nullstellen besitzt.

In deinem Beispiel solltest du einmal überprüfen, ob das nicht einfach richtig ist, hab das jetzt nicht näher überprüft [img]http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
Aber man beachte:
In Z11 ist 1 = -10
und bei deiner Zerlegung taucht (x - (-10)) = (x - 1) auf

Thanks Zaphod,
du hast mir den entscheidenen Hinweis gegeben [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
Viele Grüße,
KR

Sollte man das dann eigentlich noch umformen?
Es macht ja keinen Unterschied, aber wird es als unschön angesehen, -1 statt +10 zu schreiben?
Nicht das es für sowas noch Punktabzug gibt, von wegen fehlende Normierung und so..

-Felix

-1 sieht doch sogar wesentlich schöner aus als +10, denn die Form eines Linearfaktors ist, wie gesagt, (x - Nullstelle), und da man normalerweise nicht in Inversen schreibt, wäre das angebracht. Es wird aber wohl kaum Punktabzüge o.ä. geben, da die inhaltliche Richtigkeit ja nicht verloren geht.

Öhm. Okay. Ich bin nun auch mal an dieser Stelle angekommen. Spät, aber na ja… :)

Aber so ganz sicher bin ich mir noch nicht, ob ich das richtig mache. Kommentare?

Blatt 11 – B 3c)

x³ + 3x² + 1 in Z11[x]

Guck, guck. Wo ist der irreduzible Faktor?

Suchen nach Nullstellen:

f(0) = 0 + 0 + 1 = 1
f(1) = 1 + 3 + 1 = 5
f(2) = 8 + 1 + 1 = 10
f(3) = 5 + 5 + 1 = 0
f(4) = 9 + 4 + 1 = 3
f(5) = 4 + 9 + 1 = 3
f(6) = 7 + 9 + 1 = 6
f(7) = 2 + 4 + 1 = 7
f(8) = 6 + 5 + 1 = 1
f(9) = 3 + 1 + 1 = 5
f(10) = 10 + 3 + 1 = 3

Hmm. Nur bei 3 was gefunden. Nullstelle also: (x-3). Dann mal auf zum Dividieren:

(x³ + 3x² + 0x + 1) / x - 3 = x² + 6x + 7 -(x³ - 3x²) ----------- 0 + 6x² + 0x -(6x² - 7x) --------------- 7x + 1 -(7x - 10) ------------ 0 =
Da haben wir also. x² + 6x + 7. Gleich mal wieder nach Nullstellen suchen:

0 = 0 + 0 + 7 = 7
1 = 1 + 6 + 7 = 3
2 = 4 + 2 + 7 = 2
3 = 9 + 7 + 7 = 1
4 = 5 + 2 + 7 = 3
5 = 3 + 8 + 7 = 7
6 = 3 + 3 + 7 = 2
7 = 5 + 9 + 7 = 10
8 = 9 + 4 + 7 = 9
9 = 4 + 10 + 7 = 10
10 = 1 + 5 + 7 = 2

Nix da. Für x² + 6x + 7 kann in Z wohl keine Gleichung aufgestellt werden. Also ist x² + 6x + 7 der irreduzible Faktor von x³ + 3x² + 1 in Z11[x].

EDIT: Öhm. Ich meinte natürlich die Lösung ist (x²+6x+7)(x-3)

kommentar:
wenn das erste polynom schon nur durch 3 teilbar ist,
dann kanst du dir beim teilpolynom die suche nach weiteren nullstellen sparen ;)

vertraue der macht!

So ganz und gar? Immer? Auch wenn das erste vom Grad 12345'421 war? Finde die meisten Polynome so schrecklich unanschaulich. %) Finde ich aber gut, kürzt die Sache doch ungemein ab.
Kann ich - da das Kommentar ja immerhin von Dir kam *g* - davon ausgehen, das der Rest auch korrekt ist? Du siehst so etwas ja immer auf den 0,5ten Blick.

ein bisschen aufpassen muss man schon, so doppelte nullstellen,
notfalls reicht auf jeden fall nur die 3 noch mal zu prüfen (was hier ja nicht geht, bei 2 dreien wär die 9 ein teiler vom ursprünglichen ;), blah blah),
der rest auf jeden fall nicht

x teiler von y -> x teiler von y*z

und umkehrung davon:
not (x teiler von y*z) -> not (x teiler von y)


rest gefällt mir auch, aber ich bin ja nicht im thema drin, wer weiss.. ;)

Doch, sieht gut aus.

MoKrates