Moin,

H und K seien Untergruppen der Gruppe G. Es gelte
|H| = 44, |K| = 56 und |H geschnitten K| > 1.
Zeige, dass es in G ein Element der Ordnung 2 gibt.
(Hinweis: Das gesuchte Element kann man in "H geschnitten K" finden.)

Ich glaube ich verstehe hier etwas nicht.
Mein (anscheinend falscher) Lösungsweg sieht so aus:

Nach Theorem 13.8.3 gibt es ein Element g der Ordnung 2 in H, da 2|44 und dieses Element g ist auch in K, da 2|56.
|H geschnitten K| > 1 gilt auch, da H und K Untergruppen von G sind, und somit das neutrale Element in beiden Untergruppen vorkommt. Hinzu kommt das Element g.
Da g in H und K vorkommt, muss es also auch in G vorkommen (richtig?).

Die Lösung, die ich aus der Übung habe, sieht irgendwie komplizierter aus. Könnte hier jemand helfen?

Kann mir da wirklich niemand weiterhelfen??? <verzweifel>

tja du musst dich auf deinen jahrgang verlassen oder für andere mal andeuten, was denn ein element der ordnung 2 ist/ was das theorem 13.8.3 so sagt,

dein weg scheint nicht so gut zu sein, da du aus |H|=44 schliesst, das ein element g der ordnung 2 in H vorkommt, dies müsste dann ja auch in G vorkommen (untergruppe..), also bist du fertig,

die anderen voraussetzungen braucht man dann doch gar nicht, und das ist immer ein böser hinweis

Hmm. Welche Bedingung nutzt er denn nicht? Also leider habe ich den Biggs ebenfalls nicht, aber abgesehen davon, dass es sicher einen formelleren Weg gibt, passt das doch gut. In Frag kommen 1, 2 und 4. 1 schliesst die Definition aus. Das heißt es wäre da wohl noch irgendwas zur Vier zu schreiben. Aber nicht verzagen, TriPhoenix fragen. %) Der schneit hier sicher auch noch mal vorbei. :)

Nach Theorem 13.8.3 gibt es ein Element g der Ordnung 2 in H, da 2|44 und dieses Element g ist auch in K, da 2|56.

Da liegt der Fehler. Theorem sagt nur, dass die Ordnung jedes Elementes g aus einer Gruppe G ein Teiler von |G| ist, nicht dass jeder Teil vorhanden sein muss.

Den Beweis kann man folgendermaßen anfangen. Das LaGrange-Theorem (13.8.2) sagt, dass die Ordnung einer Untergruppe immer Teiler der Obergruppe ist.
Wir wissen von Zettel 8, dass wenn H und K Untergruppen von G sind, auch H geschnitten K eine Untergruppe ist. Nach dem LaGrange-Theorem muss nun H geschnitten K eine Ordnung habe, die sowohl 44 als auch 56 teilt. Es kommen nur in Frage: 1, 2, 4. Den Fall 1 können wir ausschließen, da die Aufgabe das explizit verbietet. Beliben die Fälle 2 und 4.
Nehmen wir ein Element g aus H geschnitten K. Das muss dann die Ordnung 2 oder 4 haben (Theorem 13.8.3). Hat g die Ordnung 2 sind wir fertig. Hat g jedoch die Ordnung 4, dann heißt das ja nichts anderes als, dass g^4 = 1 ist. Da Gruppen abgeschlossen sind, können wir einfach mal erdenken ein Element h=g^2. Dieses h hat nun gezwungenermaßen die Ordnung 2, da h^2=g^4=1 ist. Da wir jeden Fall abgedeckt haben, muss in jedem Falle in Element der Ordnung 2 zustande gekommen sein.
qed.

Voellig verspaetet, aber vielleicht liest es ja noch jemand [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Also: Hier braucht man wirklich nicht alle Voraussetzung. Eigentlich folgt alles daraus, das |H| = 44, denn es gilt: Jede Gruppe G gerader Ordnung (d.h. sie ist endlich und enthaelt eine gerade Anzahl von Elementen) hat (mindestens) ein Element der Ordnung 2. Da dies auf H zutrifft hat H ein Element der Ordnung 2 und dieses Element ist natuerlich auch in G, damit hat G ein Element der Ordnung 2.

Man obiges wie folgt beweisen (Skizze): Sei G eine Gruppe gerader Ordnung. G enthaelt auf jeden Fall das Einselement. Dieses "streichen" wir aus der Gruppe. Es bleibt eine ungerade Anzahl von Elementen. Nun nehmen wir aus G ein weiteres Element. Zu diesem *muss* (G ist Gruppe) es ein inverses geben. (Dieses inverse ist eindeutig - auch dies ist noetigenfalls zu zeigen.) Beide "streichen" wir nun wieder aus der Gruppe (Aufgrund der eindeutigkeit des inversen kann naemlich keins der verbleibenden Element mit einem der beiden gestrichenen invers sein [ungluecklich formuliert, tschuldigung]). Wir fahren so nun fort und entfernen also immer Paare aus G. Trifft man dabei auf ein Element, das zu sich selbst invers ist, so ist man bereits fertig, ansonsten streicht man weiter Paare und letztendlich verbleibt 1 Element in G, da dieses ein inverses haben muss, ist es zu sich selbst invers und wir haben ein Element der Ordnung 2 gefunden.
Also: Jede Gruppe gerader Ordnung hat mindestens ein Element der Ordnung 2 (d.h. ein zu sich selbst inverses).

Damit folgt dann die Aufgabe wie oben beschrieben.

Cheers,
Frank

Da dies auf H zutrifft hat H ein Element der Ordnung 2 und dieses Element ist natuerlich auch in G, damit hat G ein Element der Ordnung 2.

Den Rest begründest Du ja schön, aber dieser Schritt ist mir nicht klar: Kann G nicht auch ein _anderes_ Element der Ordnung 2 haben?

klingt ja sehr schön, Azure,



@UncleOwen
was ist dagegen einzuwenden, das noch ein _anderes_ element der ordnung 2 vorhanden ist?,
können doch ruhig mehrere sein..

Sorry, da hab ich mich nicht korrekt ausgedrückt. Ich hab Franks Argumentation so verstanden:
H hat ein Element der Ordnung 2 (klar)
G hat ein Element der Ordnung 2 (auch klar)
Also sind die beiden Elemente gleich (häh?)
Damals in der Übungsgruppe hab ichs noch verstanden…

ich analysiere mal stellvertretend ;)

eher so die argumentation
H hat ein element der ordnung 2 (in der begründung verwendet er den buchstaben G in einem anderen sinne, sagt sonst nie was direkt über G aus der aufgabe)

-> dies ist auch in G aus der aufgabe wegen untergruppe
-> also hat G auch ein element der ordnung 2 (ja, ist das selbe)

H und K seien Untergruppen der Gruppe G.

Ah, man sollte die Aufgabenstellung auch richtig lesen…

Hat ja doch noch jemand gelesen [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Und ich glaub' es wurde hier schon geklaert, evtl. war's etwas ungluecklich von mir die Gruppe im Hilfssatz auch G zu nennen. Gemeint war's so:

Hilfssatz: Jede endliche Gruppe G, fuer die gilt |G| ist gerade hat mindestens ein Element der Ordnung 2.
Beweis: … (siehe vorheriges Posting)

Dann kommt das was man eigentlich beweisen soll. Der Hilfssatz ist bspw. auf die Gruppe H anwendbar, da |H| = 44 (also gerade), d.h. es gibt ein Element x in H, das die Ordnung zwei hat. Da H eine Untergruppe (also auch Teilmenge) von G ist (jetzt das G der Aufgabenstellung!) ist dieses Element natuerlich auch in G.
Damit ist dann alles gezeigt.

Cheers,
Frank