Ich verstehe eigentlich fast alles, bis auf wie die Automorphismusgruppen bestimmt werden. Gibts da ein Schema?
Einwirkliches Schema habe ich dabei noch nicht entdecken können, außer durhc intensives Betrachten des Graphens. Ein Automorphismus am Graphen vertauscht ja quasi Knoten miteinander, und zwar so, dass alle Wege im graphen auch nach der Vertauschung noch existieren. Im Endeffekt geht es darauf hinaus, dass man nach der Vertauschung einen Graphen hat, der exakt die selben Eigenschaften wie vorher hat. z.B. angenommen ein Knoten 1 hätte 3 Nachbarn, die Nachbarn haben die Grade 1, 3 und 5. Dann muss womit man auch immer den Knoten 1 vertauscht ebenso 3 Nachbarn mit den Graden 1, 3 und 5 haben. Im Prinzip schaust du dir den Graphen genau an und überlegst dir dann was Vertauscht werden kann. Nehmen wir mal den aus der Aufgabe (übrigens Zettel 10, B1 bis auf den letzten Teil).
1------4---\
|\ -\---7
| \ | \ /
| 2---5 X
| / | / \
|/ -/---8
3------6---/
Ja, sollte man sich auch auf Papier aufmalen ;)
Auf jeden Fall sieht man sofort, dass Knoten 7 und 8 total gleichwertig sind. Sie haben ja exakt dieselben Nachbarn. Also sehen wir die jetzt mal schon als gleichwertig an. Dann haben wir noch den ganzen Haufen links.
Wenn wir da nun z.B. die 1 mit der 2 vertauschen wollen, ist das ganz links kein Problem. Da sind 1,2,3 ja jeder mit jedem verbunden, da tut vertauschen nicht weh. Aber wir müssen zusätzlich noch die 4,5,6 beachten. Denn wenn wir einfach 1 mit 2 vertauschen, dann wird z.B. der Weg 1-4 in der Vertauschung zu 2-4 und den gibt es ja garnicht. Also müssen wir immer wenn wir die 1 woanders hintun, die 4 mitverschieben. Genauso "hängt" die 2 an der 5 und die 3 an der 6.
Wir haben also zusammenfassend:
7 und 8 sind total gleich
1,2,3 sind im Prinzip gleich, man muss nur jeweils den pdazugehörigen Knoten aus 4,5,6 mitziehen.
Damit ergeben sich dann folgende Vertauschungen als Automorphismen:
G = {(12)(45), (13)(46), (23)(56), (123)(456), (132)(465), (78), (12)(45)(78), (13)(46)(78), (23)(56)(78), (123)(456)(78), (132)(465)(78)}
Außerdem sind mir die Bahnen unklar.
Die Bahnen bauen auf den Automorphismen auf. Die Bahnen eines Graphen muss man für jeden Knoten einzeln berechnen. Die Bahn eines Knotens beschreibt quasi alle Knoten, wo man diesen einen Knoten üebrall hinvertauschen kann. Wieder Beispiel am Graph:
Bilden wir G1, also die Bahn des Knotens 1. Dazu betrachten wir alle Automorphismen, die die 1 vertauschen und sehen, dass durch die Vertauschungen die 1 zur 2 und zur 3 werden kann. Also ist G1={1, 2, 3}.
Genuaso sehen wir, dass auch die 2 zur 1, 2 oder 3 vertauscht werden kann, also G2={1, 2, 3}.
Weiter folgt: G3={1, 2, 3}, G4 = G5 = G6 = {4, 5, 6}, G7 = G8 = {7, 8}
Ich hoffe das hilft ein wenig [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
