Irgendwie komme ich zu keiner Lösung. Könnte mir hier jemand auf die Sprünge helfen?

Für welche n € N gilt: 2^n > (n+1)^2 ?

Durch Ausprobieren, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass es für n > 5 gilt.
Induktionsanfang (n=6):

64 > 49

Induktionsschritt:

2^(n+1) > (n+2)^2

Soweit korrekt? Und wie würde ich weiter rechnen?

hmm… wenn du da mit Induktion nicht weiterkommst, dann kannst du das auch mittel Funktionen machen: Du zeigst, dass die beiden genau einen Schnittpunkt haben, dann zeigst du, dass die eine funktoin vor dem schnittpunkt kleiner, danach größer ist. Da die funktionen stetig sind müsste es einen weiteren schnittpunkt geben, falls die Annahme falsch ist. Widerspruch!

Ich weiß allerdings nicht, ob ihr dieses Methode verwenden dürft.

Das Problem ist, dass die beiden Funktionen in der Aufgabe nur auf Z definiert sind. Versuch da mal nen Schnittpunkt zu finden.
Nein, wir sollen das ueber Induktion machen

Uebrigens Zaphod. Ich hab darauf gewartet, dass Du postest. Du bist ganz schon berechenbar ,)
Und wahrscheinlich auch nur abzaehlbar unendlich [img]http://www.sternenvolk.de/symb/24.gif[/img]

MoKrates

Dann denk dir aus dem Z ein R, das klappt auch [img]http://www.sternenvolk.de/symb/25.gif[/img]

Du bist ganz schon berechenbar ,)

Dafür ist dir beim Außenmühlenfest nicht aufgefallen, dass du mehr als Christoph und ich zusammen bezahlt hast [img]http://www.sternenvolk.de/symb/15.gif[/img]

Und wahrscheinlich auch nur abzaehlbar unendlich

für dich reicht das aus [img]http://www.sternenvolk.de/symb/24.gif[/img]

behauptung: V n e N, n >= 6 : 2^n > (n+1)^2

beweis:
beweis durch Vollständige Induktion

Induktionsanfang:
2^6 = 64 > 49 = (6+1)^2

also gilt die behauptung für 6 e N

Induktionsannahme:
die behauptung gelte für ein n >= 6 e N

Induktionsschritt:
2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1)^2 * 2 = (n^2 + 2n + 1) * 2 = n^2 + 4n + 2 + n^2 > n^2 + 4n + 2 + 2, da n^2 > 2, da n >= 6 = (n+2)^2 damit gilt für alle n >= 6 e N : 2^n > (n+1)^2

müsste hinkommen, jetzt mit den nachbesserungen [img]http://www.sternenvolk.de/symb/22.gif[/img]

No risk, no fun:
Sicher mache ich mich gerade mal wieder total lächerlich, weil ich irgendwas nicht sehe, aber das ist mir ja so ziemlich egal:

= (n^2 + 2n + 1) * 2
= n^2 + 4n + 1 + n^2

ich behaupte:

= n^2 + 4n + 2 + n^2

Uebrigens Zaphod. Ich hab darauf gewartet, dass Du postest. Du bist ganz schon berechenbar ,)
Und wahrscheinlich auch nur abzaehlbar unendlich [img]http://www.sternenvolk.de/symb/24.gif[/img]

… jetzt gibts schon zwei von euch. Das ist ja nicht auszuhalten ;-)

No risk, no fun:
Sicher mache ich mich gerade mal wieder total lächerlich, weil ich irgendwas nicht sehe, aber das ist mir ja so ziemlich egal: …

jaja mich lächerlich machen und selber ganz unschuldig tun, das haben wir gerne ;),
na gut.., is ja so.., grummel..

für dich reicht das aus [img]http://www.sternenvolk.de/symb/24.gif[/img]


1. Das mit dem Geld. Sei doch dankbar und nicht schadenfroh
2. Pass auf, ich hab gefaehrliche Infos ueber Dich in der Hand. Ich koennte Dich erpressen…. Dieses Forum ist bestimmt sehr interessiert, was Du wochenendes so machst…

[img]http://www.sternenvolk.de/symb/24.gif[/img]

MoKrates

Ich bin prinzipiell nicht erpressbar, aber DAS behältst du für dich! [img]http://www.sternenvolk.de/symb/4.gif[/img] Und das meine ich ausnahmsweise mal ernst.

Kraemer fragte in unserer letzten Uebungsstunde, was eigentlich immer dieses "prinzipiell" zu bedeuten haette… Bist Du erpressbar, oder nicht?

MoKrates

LOL
Jaja.. der Krämer… [img]http://www.sternenvolk.de/symb/15.gif[/img].. also es gibt Leute, die ich echt nicht vermisse.

Induktionsschritt:
2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1)^2 * 2

Mal ne ganz dumme Frage, aber warum kommt das *2 hinten dran? Ich nehme an, dies hängt mit dem Induktionsschritt zusammen. Bei den vorigen Aufgaben haben wir im Induktionsschritt ja immer n+1 genommen. Das waren allerdings immer Summen.
Für eine Erklärung wäre ich Dankbar.

also beim induktionsschritt gehen wir davon aus, dass die formel für n stimmt und zeigen dann, dass sie auch für n+1 stimmt,
da wir ja einen anfang haben (0) folgt dann die 1, dann die 2 usw.,
und nochmal: n -> n+1, also dürfen wir für n+1 die formel auf n angewendet verwenden,

mit n+1 siehts erst mal so aus:
2^(n+1)
da sind wir, wollen aber woanders hin, also ein weile lang umformen,
zunächst zu
2^(n+1) = 2^n * 2
nicht so kompliziert, und da wir wissen, dass 2^n grösser ist als (n+1)^2 (da für n ja die formel nach annahme gilt), müsste das doppelte von 2^n auch grösser sein als das doppelte von (n+1)^2

also dürfen wir diesen schritt machen
2^n * 2 > (n+1)^2 * 2

die 2 also erstmal, weil links auch eine steht,



2^n * 2 > (n+1)^2 kann man nicht machen, wäre nicht logisch begründbar (da es ja auch nicht stimmt)

edit: ne quatsch, geht natürlich, wenns grösser als das doppelte von (n+1)^2 is, dann ist auch grösser als (n+1)^2, aber machen wir nicht, weil wir dann nicht mehr zur gesuchten formel kommen ;)

und dann immer weiter mit ähnlichen schritten und dem kleinen trick bei n^2 > 2 später



edit:
vergleich zu summen:
da gehts normalerweise ähnlich

summe(n+1) = summe(n) + irgendeineformel(n+1)
= zielformel(n) + irgendeineformel(n+1)
= zielformel(n+1)

hier also nur produkte statt summen,
nicht *(n+1) sondern * 2, da das n im exponent steht, die * 2 entspricht also den n+1-faktor,
so langsam doch verständlich, hoffe ich [img]http://www.sternenvolk.de/symb/25.gif[/img]

Hm… Aber wieso ersetzt du nur das n auf der linken Seite der Ungleichung mit (n+1). Wäre der richtige Induktionsschritt nicht 2^(n+1) > ((n+1)+1)^2 ?

Dann könnte man IMHO nicht ohne weiteres 2^n * 2 > (n+2)^2 * 2 schreiben.

Hm… Aber wieso ersetzt du nur das n auf der linken Seite der Ungleichung mit (n+1).

wir haben die formel für 2^n bewiesen (für 0 haben wir, für ein beliebiges n nehmen wir es an), also ist es nun an der zeit, die formel für n+1 zu beweisen, also 2^(n+1) > (n+2)^2
zu zeigen, zu beweisen

ein weg dies zu tun ist 2^(n+1) hinzuschreiben, logisch umzuformen, und dann bei (n+2)^2 anzukommen (mit = und > zeichen zwischendurch)

das ist der induktionsschritt!, das tue ich da! ;)

Wäre der richtige Induktionsschritt nicht 2^(n+1) > ((n+1)+1)^2 ?

jo wie eben gesagt, das ist die formel die es zu beweisen gilt, ich weiss ja nicht was du unter 'Induktionsschritt' jetzt verstehst, für micht ist das: der beweis dieser formel

Dann könnte man IMHO nicht ohne weiteres 2^n * 2 > (n+2)^2 * 2 schreiben.

ich komm langsam aus dem konzept, dies geht nicht ohne weiteres und auch sonst überhaupt nicht, da für n=6 gilt: 2^6 * 2 = 128 ist nicht > 128 = (6+2)^2 * 2

ach du meinst ja auch, dass man das NICHT ohne weiteres hinschreiben kann, gut ich stimme dir zu,

2^n * 2 > (n+1)^2 * 2 kann man dagegen problemlos hinschreiben, da wir WISSEN (bzw. ANNEHMEN) dass 2^n groesser ist als (n+1)^2, also steht da praktisch
"GROSS * 2 > KLEIN * 2", total logisch find ich



wie auch immer, ziel ist 2^(n+1) > (n+2)^2 zu zeigen, und dabei können wir nicht verwenden dass 2^(n+1) > (n+2)^2 ist, da wir das gerade beweisen ;)

verwenden können wir nur sämliches (bewiesenes oder allgemein anerkanntes) logisches wissen der welt (dazu gehört auch die anwendung der formel auf n!)

diesmal besser geworden? [img]http://www.sternenvolk.de/symb/12.gif[/img]

… jetzt gibts schon zwei von euch. Das ist ja nicht auszuhalten ;-)

[img]http://www.sternenvolk.de/symb/15.gif[/img] nicht? Ich kann Dich beruhigen… Noch mehr gibs nicht (aeh. Also, ich kenne niemanden sonst, aber… Ich bin das Mass aller Dinge)

MoKrates

Ich bin das Mass aller Dinge

räusper
Du Wicht? Stell dich hinten an! [img]http://www.sternenvolk.de/symb/15.gif[/img]

Hoert nicht auf ihn.

MoKrates