Oh weh. M1 zum zweiten Mal und ich scheiter schon wieder an so etwas einfachen. Vielleicht mag mir ja jemand auf die Sprünge helfen:
Ich möchte beweisen, dass eine Funktion injektiv ist. Zum Beispiel:
Z → Z, f(x) := x - 4
Beweis:
x1, x2 e Z, f(x1) = f(x2)
=> x1 - 4 = x2 - 4 | - 4
x1 = x2 => f ist injektiv.
Das ist doch okay oder?
Aber:
R → R, f(x) := x²
Beweis:
x1, x2 e R, f(x1) = f(x2)
=> x1² = x2² | Wurzel
x1 = x2 => f ist injetkiv.
Doch: f(-2) = 4 = f(2)
Wo ist denn der Fehler, dass ich nach dem normalen Beweisschema bei der zweiten Funktion auch noch x1 = x2 herausbekommen konnte?
Du kannst ganz einfach nicht davon ausgehen, das bei einer Wurzel etwas positives rauskommt. Daher ist der letzte Äquivalenzpfeil falsch.
Alles klar?
Hmm. Ich befürchte: Nein. Also mal abgesehen davon, dass ich umgekehrt es eigentlich gewohnt bin, bei einer Wurzel nur positive Ergebnisse zu erhalten, leuchtet mir auch nicht ein, warum die Wurzel aus x² nicht x sein sollte.
Zudem fällt mir gerade ein, die Wurzel kann ich ja auch gerne weglassen:
x1² = x2²
=> x1 * x1 = x2 * x2 | : xi
=> x1 = x2
wäre ja das gleiche in ner anderen Farbe.
R → R, f(x) := x²
Behauptung: f ist nicht injektiv
Beweis:
Annahme: f ist injektiv
f ist injektiv => V x,y element R : (f(x)=f(y) => x = y)
es gilt aber f(-2)=f(2) und -2 ungleich 2 für 2,-2 element R
also ist die Annahme falsch, die Behauptung damit richtig
kann man natürlich alles schöner und offizieller aufschreiben, aber ist zumindest richtig
(denk ich mal [img]
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zu dem direkten weg:
aus x1*x1 = x2*x2 folgt nicht wirklich x1 = x2…, nach welcher rechenregel ausser wurzel?
das kann man dann besser als quadrat stehen lassen und wurzel ziehen,
x1 quadart = x2 quadrat => |x1| = |x2|
daraus folgt auch nicht so recht x1 = x2
=> x1 * x1 = x2 * x2 | : xi
wenn du auf der einen Seite durch x1 dividierst, auf der anderen durch x2, und das ganze soll eine Äquivalenzumformung sein, dann implizierst du damit bereits, dass x1 und x2 gleich sind!
Die Wurzel einer Zahl k ist definiert als diejenige nicht negative reelle Zahl, deren Quadrat k ist. Sie ist aber auch nur in R+ definiert, sodass sie als direkte Umkehrfunktion des Quadrates nicht in Frage kommt. Du musst also einen kleinen Umweg gehen:
x1² = x2² <=>
x1 = x2 ODER x1 = -x2 … Also NICHT INJEKTIV :o)
x1 quadart = x2 quadrat => |x1| = |x2|
Okay, wenn das so ist, sehe ich das auch vollkommen ein. Aber nach so einer Umforumg habe ich vorher noch nie Betragsstriche gesehen. Na ja. Mir ist im letzten Jahr eh aufgefallen, das meine Schule - was Mathe anbelangt - wohl so einiges ausgelassen hat.
Thx a lot.
Okay, wenn das so ist, sehe ich das auch vollkommen ein. Aber nach so einer Umforumg habe ich vorher noch nie Betragsstriche gesehen.
In der Schule schreibt man meistens anstatt |x1|=|x2| sowas wie +-Wurzel(x1) = +-Wurzel(x2), vielelicht kommt dir das ja bekannt vor :)
Ha ha. Jetzt fangt nicht an Euch auch noch über mich lustig zu machen. :-P
Ha ha. Jetzt fangt nicht an Euch auch noch über mich lustig zu machen. :-P
War doch garnicht böse gemeint [img]
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Habs auch nicht wirklich so aufgefasst. %)
ohhh man…..so schafft man die m1-klausur aber nicht….[img]
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Manchmal macht man statt Betrag oder +/- auch eine Fallunterscheidung:
x1² = x2²
=> x1 = x2 v x1 = -x2
Wichtig: dieser Schritt ist KEINE Äquvalenzumformung (<=>) sondern nur eine Folgerung (=>), deshalb kann man nicht einfach nur die erste Lösung nehmen (bzw. die zweite vergessen).
Ist übrigens ein beliebter Fehler, den wohl jeder schonmal gemacht hat.
x1² = x2²
=> x1 = x2 v x1 = -x2
Wichtig: dieser Schritt ist KEINE Äquvalenzumformung (<=>) sondern nur eine Folgerung (=>), deshalb kann man nicht einfach nur die erste Lösung nehmen (bzw. die zweite vergessen).
Ist übrigens ein beliebter Fehler, den wohl jeder schonmal gemacht hat.
Das IST eine Äquivalenzumformung, denn 1. folgt das erste aus dem zweiten (das hast du da selbst geschrieben), und zweitens folgt aus dem zweiten auch das erste. Allerdings sollte man zur Verdeutlichung in der Darstellung eine Klammer um den Ausdruck (x1 = x2 v x1 = -x2) machen.
Zaphod ist der Mathe-Crack. Ohne Frage.. Widerspruch ist zwecklos.
Wollen wir nur hoffen, das du nicht die biologischen und technischen Informationen deiner Kommilitonen in dein Kollektiv übernimmst und uns alle assimilierst *g*
Widerspruch ist zwecklos.
Nachdem er jetzt den Unterschied zwischen eineindeutig und umkehrbar eineindeutig gelernt hat. ;)
Pöh! Wir haben das in der Schule so gelernt, und ich finde das auch immer noch genau so richtig, wie ich das gesagt habe. [img]
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Alles schön und gut, auch einfach. Aber wie macht man das bei Z->ZxZ? also z.B. bei f(a,b)=a+b. wie geht man da vor? bin grad ein wenig verwirrt..[img]
http://www.sternenvolk.de/symb/2.gif[/img]
Widerspruch ist zwecklos.
Weiß nicht, ich denke immer noch, dass das keine Äquivalenzumformung ist.
Es geht aber auch äquivalent:
x1² = x2² <=> x1 = x2 UND x1 = -x2
(ODER ist für die Äquivalenz nicht ausreichend).
Somit habe ich das natürlich unnötig kompliziert gemacht - man hält sich halt an sein Schulwissen [img]
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Alles schön und gut, auch einfach. Aber wie macht man das bei Z->ZxZ? also z.B. bei f(a,b)=a+b. wie geht man da vor? bin grad ein wenig verwirrt..[img]http://www.sternenvolk.de/symb/2.gif[/img]
So. Kram erzählen. Achtung Anfänger unterwegs, gebe für nix ne Garantie:
f(a,b) = a + b ist doch eine Abbildung von ZxZ->Z. Steht ja auch so auf dem Aufgabenzettel *sicherFühl* Wenn Du Dich da jetzt drauf beziehst ist das fein, weil die Aufgabe durch Widerspruch gelöst werden kann: f(0,1) = 1 = f(1,0), so zumindest meine Mutmaßung. *g*
Eigenartiger finde ich da noch die andere Geschichte mit Z -> ZxZ sei definiert durch f(n) = (n², (n+1)²). Die wird wohl schon injektiv sein, aber auf ein schlaues Beweisverfahren bin ich da noch nicht gekommen.
Es geht aber auch äquivalent:
x1² = x2² <=> x1 = x2 UND x1 = -x2
(ODER ist für die Äquivalenz nicht ausreichend).
Hm….das möchte ich jetzt sehen, dass du mir zwei Zahlen x1, x2 nennen kannst (außer 0), für die die rechte Seite noch gelten soll :) ODER ist vollkommen ausreichend
Eigenartiger finde ich da noch die andere Geschichte mit Z -> ZxZ sei definiert durch f(n) = (n², (n+1)²). Die wird wohl schon injektiv sein, aber auf ein schlaues Beweisverfahren bin ich da noch nicht gekommen.
ich nehm mal son post wieder als anlass, die welt mit einem meiner beweise zu beglücken, aus übungszwecken so [img]
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f: Z -> ZxZ sei definiert durch f(n) = (n², (n+1)²).
Behauptung: f ist injektiv
Beweis:
V x, y element Z: f(x) = f(y)
=> x^2 = y^2 und (x+1)^2 = (y+1)^2
=> |x| = |y| und |x+1| = |y+1|
=> x = y und x+1 = y+1 oder
x = -y und x+1 = y+1 oder
x = y und x+1 = -y-1 oder
x = -y und x+1 = -y-1
=> x = y oder
x = y = 0 oder
x = y = -1 oder [verbessert]
false
=> x = y
also ist die Behauptung bewiesen
Eigenartiger finde ich da noch die andere Geschichte mit Z -> ZxZ sei definiert durch f(n) = (n², (n+1)²). Die wird wohl schon injektiv sein, aber auf ein schlaues Beweisverfahren bin ich da noch nicht gekommen.
Wäre es für den Injektiv-Beweis hier legitim und ausreichend zu beweisen das n² ungleich (n+1)² ist?
Nachtrag: Oh, da kam ja inzwischen schon n Posting. Nehme ich halt das. %) Thx
Wäre es für den Injektiv-Beweis hier legitim und ausreichend zu beweisen das n² ungleich (n+1)² ist?
Das reicht leider nicht :)
Denn theoretisch könnte ja zweimal sowas wie (1,2) rauskommen…natürlich sind die verschieden, aber das hilft nicht ;) Aber wie mans richtig macht hat Slater ja schön demonstriert :)
=> x = y oder
x = y = 0 oder
x = y = 0 oder
false
Ähh…Erläuterung bedürftig!??!
Noch ein Anfänger muss sich zu Wort melden. Die Aufteilung in vier mit oder-verknüpfte und-Aussagen find ich ja schön. Und in drei von vier Fällen stimme ich ja der Folgerung zu, doch im dritten Fall rechne ich so:
x = y und x+1 = -y-1
=> x=y und x+1 = -x-1
<=> x=y und 2x = -2
<=> x=y und x = -1
=> x = y = -1
und nicht
x = y = 0
Mach ich da jetzt einen Denkfehler ?
Hanno
jo da war ich ein bisschen zu schnell, kommt ja zum glück auch hin [img]
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Es geht aber auch äquivalent:
x1² = x2² <=> x1 = x2 UND x1 = -x2
(ODER ist für die Äquivalenz nicht ausreichend).
Hm….das möchte ich jetzt sehen, dass du mir zwei Zahlen x1, x2 nennen kannst (außer 0), für die die rechte Seite noch gelten soll :) ODER ist vollkommen ausreichend
Ohje, da habe ich wohl wirklich nur geschrieben ohne zu denken. Vielleicht sollte ich den Unsinn lieber löschen ?
Naja, es war ja schon recht spät für den Abend…
(Und erzähl bloß niemandem, dass ich mal das M2-Tutorium gehalten habe [img]
http://www.sternenvolk.de/symb/19.gif[/img]).
Es geht aber auch äquivalent:
x1² = x2² <=> x1 = x2 UND x1 = -x2
(ODER ist für die Äquivalenz nicht ausreichend).
doch.
ODER ist vollkommen ausreichend
Nicht ausreichend, sondern zwingend! x1 beliebig e R kann nicht gleichzeitig =x2 und =-x2 sein.
Wichtig zu bemerken! Bei Termumformungen macht man (wenn man einen Aequivalenzpfeil ziehen will) einen Aequivalenzumformung, d.h. man wendet die bijektive Umkehrfunktion an. Die Wurzel ist keine Umkehrfunktion des Quadrats!
Quadrat: R -> R+
Wurzel: R+ -> R+
Die Bildmenge der Wurzel ist ungleich der DefMenge des Quadrats!
MoKrates - Dankt Zaphod und traeumt mit ihm von UvdL ,)
Schwuchtel! [img]
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Der Typ ist echt oberkrass, aber deswegen muss man noch nicht gleich von ihm träumen [img]
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Wenn ich mich nicht irre, dann unterrichtet er übrigens nicht mehr. Falls seine offizielle Verabschiedung noch aussteht, dann solltest du dahin kommen (rechtzeitig!), und dein Schild nicht vergessen
grööhhhl
..weißt ja, wie ich das meine. Aber.. gib's zu, hätte ich das niht gesagt, wärst du sehr enttäuscht gewesen. [img]
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[…]Aber.. gib's zu, […]
Hm…. *wind* …
Wenn ich nicht zugeben wollte, muesst ich luegen…. [img]
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Macht es doch ganz einfach:
x1^2 = x2^2
(-x2^2)
=> x1^2 - x2^2 = 0
(3. Binomische Formel)
=> (x1+x2)(x1-x2)=0
=> Lösung 1: x1=-x2
=> Lösung 2: x1=x2
sauber, klar und ohne Probleme
Je einfacher die Aufgabe, um so mehr Leute, die die Loesung zu kennen meinen.
Interessant, dass sich Zaphod zu so einem Thema herablaesst… [img]
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MoKrates
