Hat sich irgendjemand man rangemacht und die letzte M1 Klausur zu bearbeiten und könnte seine "Musterlösung" mal posten?

Edit: Archiviert ||M||SP|02||

ich mochte gerne die klausur auch angucken , wo gibt es di zu sehen?

Mein Gedächtnisprotokoll steht noch immer auf der FBI-Fachschaftsseite [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img] Ne Lösung ist allerdings nicht dabei..

http://www.informatik.uni-hamburg.de/Fachschaft/gprot/index.php/pprot.Günther.52.ps?download=52&type=ps

(Blöde url-verwurstung)

@triphoenix

bei 3. in der klausur sollte es in den klammern heissen:
induktionsanfang k=0 oder k>0, induktionsschluss k>n oder k<=n,

bei 4.2 gibt es eine unterscheidung i=0, i>0

bei 4.3 müsste ein geschnitten-zeichen statt eines undes,
und keine vereinigungen über ieI, sondern nur Vi+1,a geschnitten Vi+1,b

bei der bemerkung bei 4: bestensfalls ist y1=w, nicht y2

viel spass beim lösen der lösung! [img]http://images.rapidforum.com/images/i24.gif[/img]

alles im klassischen text gehalten
mit theoretisch hilfreichen klammern

1. a.)

x element complement (der vereinigung (über i element I) aller Ai) zu M

<-> x element M und für alle Ai gilt: x nicht element Ai

<-> für alle Ai gilt: x element M und x nicht element Ai

<-> für alle Ai gilt: x element complement Ai zu M

<-> x element schnittmenge alle complemente Ai zu M

-> nach 1.17 die behauptung

1. b.)

x element urbild (U geschnitten V)

<-> x element M und f(x) element (U geschnitten V)

<-> (x element M und f(x) element U) und
(x element M und f(x) element V)

<-> x element urbild U und x element urbild V

<-> x element (urbild U geschnitten urbild V)

-> nach 1.17 die behauptung

2. a.)

surjektiv:

(x,y) element M1' x M2'

-> x element M1' und y element M2'

-> (es existiert ein a element M1 mit f(a)=x ) und
(es existiert ein b element M2 mit g(b)=y )

-> es existiert ein (a,b) element M1 x M2 mit
phi((a,b))=(f(a),g(b))=(x,y)

-> phi ist surjektiv

injektiv:

phi((a,b))=phi((c,d))

-> (f(a),g(b))=(f©,g(d))

-> f(a)=f© und g(b)=g(d)

-> a=c und b=d

-> (a,b) = (c,d)

-> phi ist injektiv

-> phi ist bijektiv

2. b.)

M,M' abzählbar

-> M,M' gleichmächtig zu IN (natürliche zahlen) (2.47)

-> es existieren bijektive abbildungen M -> IN und M' -> IN

-> IN x IN ist abzählbar (2.48) und
es existiert eine bijektive abbildung IN x IN -> M x M'
(nach 2. a.)

-> M x M' abzählbar (2.47)

3.)

induktionsanfang, n=0:

k=0:

produkt (i=0 bis 0) von ai*bi = a0*b0 = a0 * b0

= produkt (i=0 bis 0) ai * produkt (i=0 bis 0) bi

also behauptung richtig

k>0:

produkt (i=k bis 0) von ai*bi = e = e * e

= produkt (i=k bis 0) ai * produkt (i=k bis 0) bi

also behauptung richtig

also behauptung für alle k element IN richtig

induktionsannahme:

behauptung für alle x element IN mit x<n richtig
(besonders x=n-1).

induktionsschritt:

k>n:

produkt (i=k bis n) von ai*bi = e = e * e

= produkt (i=k bis n) ai * produkt (i=k bis n) bi

also behauptung richtig

k<=n:

produkt (i=k bis n) von ai*bi

= produkt (i=k bis n-1) von ai*bi * an*bn

= produkt (i=k bis n-1) ai * produkt (i=k bis n-1) bi * an * bn

= produkt (i=k bis n) ai * produkt (i=k bis n) bi

also behauptung richtig

also behauptung für alle n,k element IN richtig

4. 1.)

x element vereinigung (über a element Vi) aller Vi+1,a

-> für alle a element Vi gilt:
x element V und l(x)=i+1 und (a,x) element Eg

-> x element V und l(x)=i+1

-> x element Vi+1

-> nach (1.21) die behauptung

4. 2.)

i=0:

x element V1

-> x element V und l(x)=1

-> es existiert genau ein weg mit f(1)=(w,x)

-> x element V und l(x)=1 und (w,x) element Eg

-> x element V1,w

-> x element vereinigung (über a element V0) aller V1,a
(da {w}=V0)

-> nach (1.21) die behauptung für i=0

i>0:

x element Vi+1

-> x element V und l(x)=i+1

(*) -> x element V und
(es existiert genau ein weg f: i+1 -> Eg und
(es existiert genau ein y mit f(i+1)=(y,x) ) )

-> es existiert genau ein f': i-> Eg mit f(i)=(z,y)

-> es existiert ein y element Vi

mit (*) -> es existiert ein y element Vi:
x element V und l(x)=i+1 und (y,x) element Eg

-> es existiert ein y element Vi: x element Vi+1,y

-> x element vereinigung (über a element Vi) aller Vi+1,a

-> nach (1.21) die behauptung für i>0

4. 3.)

annahme: a ungleich b:

vorraussetzungen der aufgaben

-> es existiert ein x: x element Vi+1,a und x element Vi+1,b

-> (a,x) element Eg und (b,x) element Eg

-> es existiert ein weg von w nach x mit f(i+1)=(a,x) und
es existiert ein weg von w nach x mit f(i+1)=(b,x)

widerspruch, da es nur genau einen weg geben kann

also a=b

Hab mir das nicht angetan und durchgelesen *ggg*
Ich bewundere deine Ausdauer, so einen Text auch noch zu verfassen, wenn einem das Lesen schon schwer fällt… [img]http://images.rapidforum.com/images/i14.gif[/img]

@triphoenix

bei 3. in der klausur sollte es in den klammern heissen:
induktionsanfang k=0 oder k>0, induktionsschluss k>n oder k<=n,

bei 4.2 gibt es eine unterscheidung i=0, i>0

bei 4.3 müsste ein geschnitten-zeichen statt eines undes,
und keine vereinigungen über ieI, sondern nur Vi+1,a geschnitten Vi+1,b

bei der bemerkung bei 4: bestensfalls ist y1=w, nicht y2

Hättest du das nicht vro 3 Wochen sagen können, als ich gefragt habe? [img]http://images.rapidforum.com/images/i23.gif[/img]

da musste ich es ja nicht durchlesen für eine schnelle musterlösung [img]http://images.rapidforum.com/images/i22.gif[/img],
kann man sowas noch nachbessern, oder einen anhang dazustellen?, oder zweites upload mit hinweis auf den ersten

1. b.)

x element urbild (U vereinigt V)

<-> x element M und f(x) element (U vereinigt V)

<-> (x element M und f(x) element U) und
(x element M und f(x) element V)

[…]

<-> (x element M und f(x) element U) ->oder<-
(x element M und f(x) element V)

Isses nicht so richtig?

Nee, das passt auch irgendwie nicht…
Kann mir das mal einer Schritt für Schritt erklären?
Kann doch nicht so schwer sein, müsste doch sogar ich raffen können…

Da ich es nicht löschen kann, vergesst einfach meine beiden Postings vorher… [img]http://images.rapidforum.com/images/i15.gif[/img]
Ich hab es gepeilt…
Vielleicht sollte man erst denken und dann schreiben. [img]http://images.rapidforum.com/images/i15.gif[/img]

man muss doch ändern können…,

erst mal formelmäßig aufschreiben, dann wird manches klarer, ich fasse auch gern schritte zusammen [img]http://images.rapidforum.com/images/i23.gif[/img]


@mjay, da war tatsächlich was falsch,
es sind keine vereinigungen sondern schnitte (tolles wort…)

x element urbild (U geschnitten V)

<-> …

<-> x element (urbild U geschnitten urbild V)

Den Fehler hatte ich dann auch gefunden als ich mir mal die Aufgaben angesehen hatte, aber da ich vorher schon 3x gepostet hab ohne richtig nachzudenken, wollte ich darüber erstmal schafen. [img]http://images.rapidforum.com/images/i15.gif[/img]

Kannst Du mir mal erklaeren, warum Du bei dem Induktionsbeweis n-1 genommen hast?
Würde das ganze auch mit n+1 funktionieren?

Ich stelle mir das ungefähr so vor:

Induktionsschritt: k<=n

produkt (i=k bis n+1) von ai*bi

= ( produkt (i=k bis n) von ai*bi ) * (an+1 * bn+1)

= ( produkt (i=k bis n) von ai ) * ( produkt (i=k bis n) von bi ) * (an+1 * bn+1)

= ( produkt (i=k bis n) von ai ) * an+1 * ( produkt (i=k bis n) von bi ) * bn+1

= ( produkt (i=k bis n+1) ai) * ( produkt (i=k bis n+1) ai)

So würde ich das machen, geht das auch?

Jupp, ist richtig so. Mit n+1 sieht das außerdem viel hübscher aus als mit n-1. Zu beachten ist aber Folgendes:
Wenn man Gruppeneigenschaften o.ä. verwendet, dann muss man das auch angeben. Z.B. wurde in der Rechnung nicht darauf hingewiesen, dass einige Umformungen das Assoziativ- bzw. Kommutativgesetz voraussetzen. Sowas ist nicht selbstverständlich und muss daher auch erwähnt werden. Eine kleine Anmerkung nach dem Rechenschritt, wie "nach dem Assoziativgesetz in einer Gruppe" oder "da G nach Voraussetzung Gruppe ist, gilt das Assoziativgesetz" reicht ja schon.

*zaphodzustimm, n+1 oder n ist geschmackssache denke ich

Ich schreib' normalerweise die Nummer aus dem Skript ran, das reicht hoffentlich in der Klausur?!?
Da bin ich ja froh, dass meine Version auch richtig ist, dann hab ich wenigstens ein paar Punkte in der letzten Klausur bekommen. [img]http://images.rapidforum.com/images/i9.gif[/img]

Könnte mir einer die Lösung für Aufgabe 4 erläutern?
Wieso ist das in 1) und 2) unterteilt?
Könnte man das nicht zusammenfassen und das Teilmengenzeichen durch ein = ersetzen?
(Allerdings hab ich auch dann keine Ahnung, wie man das lösen könnte)

Mir ist auch noch nicht so ganz klar, wie man dieses vi+1,a in Worte fassen kann…

welche skriptnummer hat denn "nach dem Assoziativgesetz in einer Gruppe"?, aber sonst schreib ich auch viele nummern, in 2. b. leicht angedeutet,

zu 4.)
tja, wer zweimal hinsieht, wird erkennen, das die beiden mengen gleich sind, nachweisen würde man dies eben mit
'(X teilmenge Y) und (Y teilmenge X) -> X=Y',
eben wie a. und b. gestellt sind [img]http://images.rapidforum.com/images/i22.gif[/img], und da schreibt man dann auch die skriptnummer für den satz da oben daneben [img]http://images.rapidforum.com/images/i14.gif[/img]

Vi+1,a= menge aller direkt mit a verbundenen folgeknoten [img]http://images.rapidforum.com/images/i10.gif[/img], ne besser nicht bezeichnen

w
|\
| \
| \
b c
|\ |\
d e f g

{d,e} ist eine Teilmenge von Vi+1,b (Also die Nachfolger von b…)

sind nicht {d,e,f,g} elemente von vi+1, also die Nachfolger der Elemente in der 1. Stufe?

Also ist Vi+1,b Teilmenge von Vi+1, aber Vi+1 nicht Teilmenge von Vi+1,b ???????????????

Das stimmt doch nicht…
Wo ist mein Denkfehler? [img]http://images.rapidforum.com/images/i19.gif[/img](
Wie soll ich bloss die Klausur schaffen, wenn ich schon an so einfachen Dingen scheiter?

quote

{d,e} ist eine Teilmenge von Vi+1,b (Also die Nachfolger von b…)

sind nicht {d,e,f,g} elemente von vi+1, also die Nachfolger der Elemente in der 1. Stufe?

Also ist Vi+1,b Teilmenge von Vi+1, aber Vi+1 nicht Teilmenge von Vi+1,b ???????????????



stimmt doch alles, {d,e} ist gleich Vi+1,b,

interessant ist hier vor allem, dass Vi+1 teilmenge der VEREINIGUNG aller Vi+1,a (über a element Vi) ist und andersrum,

bei einzelnen Vi+1,a haut das natürlich nicht hin

Mann, bin ich blöde… [img]http://images.rapidforum.com/images/i22.gif[/img]
Jetzt hab ich so lange auf die Lösung gestarrt, dass ich wohl die Aufgabe ganz vergessen hatte.
Nu isses mir um einiges klarer, mal sehen, ob ich nun auch den Beweis raffe. [img]http://images.rapidforum.com/images/i15.gif[/img]

Danke erstmal…