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Julia Menge

Julia Menge 2006-09-12 20:11
Anonymer User
laut CGB-Skript ist eine Julia-Menge J genau dann eine Julia-Menge, wenn sie invariant bezüglich

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f(z)=z%5E2%20+%20c,c%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D[/img]

ist.

soll invariant bedeuten:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cforall%20z%5Cin%20J:%20f(z)%20%5Cin%20J[/img] ???

Re: Julia Menge 2006-09-13 01:46
garou
Meines Wissens soll invariant bedeuten:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cforall%20z%5Cin%20J%3A%20f(z)%3Dz[/img]

Re: Julia Menge 2006-09-13 10:20
Anonymer User
hmm…aber das gilt ja nicht mal für das Beispiel im Skript!

Re: Julia Menge 2006-09-13 18:23
garou
hmm…aber das gilt ja nicht mal für das Beispiel im Skript!
Was ist das Beispiel im Skript?

Re: Julia Menge 2006-09-13 18:47
Slater
http://de.wikipedia.org/wiki/Julia-Menge

dort ist vom Rand die Rede, was dann wohl garou's Variante stützt?

Re: Julia Menge 2006-09-13 19:42
georg
dort ist vom Rand die Rede, was dann wohl garou's Variante stützt?

<FröhlichesSpekulieren>
Nicht, dass ich Ahnung von Julia-Mengen hätte, aber wenn
eine Menge J die Bedingung von garou erfüllt, dann wird die
Bedingung auch von jeder Teilmenge erfüllt. Die Teilmenge ist
ja dann aber nichtmehr der Rand der Menge K (Bezeichnung aus
Wikipedia). Also wird die Bedingung von garou auch nicht ganz
stimmen.
</FröhlichesSpekulieren>

[img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Edit: Abgesehen davon hat f(z)=z offenbar höchstens zwei
Lösungen, das wären dann nicht so interessante Mengen!

Re: Julia Menge 2006-09-13 20:13
Anonymer User
die definition aus wikipedia stimmt soweit (auch schon irgendwo in einem buch gesehen) sie ist mir aber zu kompliziert, also zu lang für die prüfung. ich würde gern die definition aus dem skript verstehen, welche aus dem fellner stammt. dort steht aber auch nicht mehr :(

Re: Julia Menge 2006-09-13 21:55
georg
Hm, dann mach ich mal weiter mit Spekulieren.
Bei Wikipedia steht ja, dass K auch manchmal
(unpräsize) Julia-Menge genannt wird. Und da
K die Menge der Zahlen [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?z_0[/img] ist, für die die Folge
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(z_n)[/img] mit

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?z_%7Bn%2B1%7D%3A%3Df(z_n)[/img]

beschränkt ist, sieht man leicht, dass K die Bedingung
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cforall%20z%5Cin%20K%3A%20f(z)%5Cin%20K[/img] erfüllt. Allerdings
ist das offensichtlich keine hinreichende Bedingung, denn
für jedes c erfüllt ganz [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BC%7D[/img] diese Bedingung.
Da fehlt also noch was.

Weitere Ideen? [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Re: Julia Menge 2006-09-14 10:59
Anonymer User
Allerdings
ist das offensichtlich keine hinreichende Bedingung, denn
für jedes c erfüllt ganz C diese Bedingung.

hmm, dann ist C vielleicht sowas wie der Trivialfall einer Julia-Menge?

Re: Julia Menge 2006-09-14 16:21
georg
Allerdings
ist das offensichtlich keine hinreichende Bedingung, denn
für jedes c erfüllt ganz C diese Bedingung.

hmm, dann ist C vielleicht sowas wie der Trivialfall einer Julia-Menge?

Nein, denn bei Wikipedia steht, dass eine Folge wie oben
beliebig anwächst, sobald ein Iterationsglied den Betrag 2
überschreitet. Also ist
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?K%5Csubseteq%20%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%5Cmid%20%7Cz%7C%5Cle%202%5C%7D[/img],
was aber auf C nicht zutrifft. Also ist C nicht eine solche
K-Menge.

Das heißt, dass die Bedingung [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cforall%20z%5Cin%20K%3A%20f(z)%5Cin%20K[/img] notwendig
für eine Menge K ist, aber nicht hinreichend, weil sie eben
auch auf C zutrifft.

(Aus der obigen Teilmengenbeziehung kann man übrigens
noch Rückschlüsse auf J (das ja der Rand von K ist) ziehen:
J ist ebenfalls in der rechten Menge enthalten.)