also irgendwie kann ich mir keinen helligkeitsverlauf vorstellen der differenzierbar aber nicht stetig differenzierbar ist …
ich weiss, im Skript steht, dass beim Gouround Shading dieser nur stetig ist, und nicht stetig differenzierbar. Also ein Knick zum Beispiel, aber würd mich trotzdem mal interesieren ;)
Die Lösung für stetig aber nicht stetig differenzierbar hast du fast schon vorgegeben, einen Knick in der Helligkeitsfunktion. Nimm mal den hier:
[img]
http://kram.triphoenix.de/balken.png[/img]
Die Intensität geht erst linear von 255 auf 0, dann von 0 auf 255. Die Steigung ist in der ersten hälfte negativ konstant, in der zweiten positiv konstant. Also stetig aber nicht differenzierbar. Hätte ich das ding mal nicht 400 sondern 511 Pixel breit gemacht, wäre die Intensität genau die Betragsfunktion (für x=0 in der Mitte)
ok, danke!
aber "nicht differenzierbar" kann ich mir gut vorstellen; aber nicht "nicht stetig differenzierbar"!
vielleicht etwas genauer: "differenzierbar und nicht stetig differenzierbar" kann ich mir nicht vorstellen
"differenzierbar und nicht stetig differenzierbar"
Ich hab mir mal ein Beispiel überlegt.
Wenn ich richtig rechne, müsste die Funktion
f: [-1,1]->R mit f(x)=0 für [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%5Cle%200[/img]
und [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f(x)%3De%5Ex-1[/img] für x>0 diese
Eigenschaft haben. Wenn man das ein bisschen
skaliert, kann man bestimmt auch einen Farbverlauf
draus machen [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
Die Differenzierbarkeit ist an allen Stellen außer
0 offensichtlich, bei 0 kann man dann nachrechnen,
dass sowohl der links- als auch der rechtsseitige
Grenzwert [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bx%7D[/img] jeweils 0 ist. Daher ist f'(x)=0
für [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%5Cle%200[/img] und [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f'(x)%3De%5Ex%3E1[/img] für x>0. Und damit
ist f' nicht stetig.
Das Standardbeispiel für eine Funktion mit dieser Eigenschaft findest du, wenn "differenzierbar aber nicht stetig differenzierbar" bei Google eintippst ;-)
Hier z.B.:
http://www.math.uni-mannheim.de/~fesser/Analysis/Gegenbeispiele_zur_Differentiation_und_Integration.pdfMit Farbverläufen kenne ich mich nicht aus und weiß nicht, ob und wie man daraus einen macht.
Ups, ich hab mich oben verrechnet.
Aber Zaphod hat ja nun schon richtige
Beispiele verlinkt.
oh danke!
die "Standardgegenbeispiele" kenn ich schon, und wirken auf mich schon sehr konstuiert. Ich frage mich, ob es überhaupt einen Fall gibt, der in der Praxis vorkommt, in diesem Fall also in Verbindung mit einem Helligkeitsverlauf auf einem Körper?!
