Das Differentiationstheorem besagt: (Skript V-9):
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathfrak%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Df(x)%5Cright%5C%7D%20%3D%20j%5Comega%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bf(x)%5C%7D[/img]
Wenn ich jetzt eine zweite Funktion [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?g(x)%20%3D%20f(x)%2Bc%2C%20c%20%5Cneq%200[/img] nehme, dann ist
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Df(x)%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Dg(x)[/img], also
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?j%5Comega%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bf(x)%5C%7D%0A%3D%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Df(x)%5Cright%5C%7D%0A%3D%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Dg(x)%5Cright%5C%7D%0A%3D%20j%5Comega%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bg(x)%5C%7D[/img]
Es ist aber
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bg(x)%5C%7D%0A%3D%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bf(x)%2Bc%5C%7D%0A%3D%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bf(x)%5C%7D%20%2B%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bc%5C%7D%0A%3D%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bf(x)%5C%7D%20%2B%20c%5Cdelta(x)[/img]
Woher kommt die Differenz?
Interessant wird das z.B. bei der Herleitung der Fouriertransformierten der Sprungfunktion und der Signumfunktion (Folie V-24/25). Zuerst steht da, dass [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?F_H%20%3D%20-j%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D[/img] (also die Transformierte der Sprungfunktion), dann stellt sich aber heraus, dass da noch ein Term fehlt. Wie kommt man da drauf?

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?j%5Comega%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bf(x)%5C%7D%0A%3D%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Df(x)%5Cright%5C%7D%0A%3D%20%5Cmathfrak%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Dg(x)%5Cright%5C%7D%0A%3D%20j%5Comega%5Cmathfrak%7BF%7D%5C%7Bg(x)%5C%7D[/img]

Das würde doch dann heissen, dass f(x) = g(x), was aber nicht sein kann. F{f(x)} = F{g(x)} bedeutet ja, dass beide Funktionen die gleiche Frequenzdarstellung haben => das gleiche Zeitsignal repräsentieren.

Woher kommt die Differenz?

Ich sehe das Problem darin, dass bei der Differenzierung von f(x) + c der Term dc/dx einfach wegfällt. Ja, er ist zwar Null, doch bei der FT nicht...
PS: Wieso erscheinen bei mir in den Matheformeln (die mit [ latex ] erstellt worden sind) immer ``+''? Das nervt. Liegt das an mir?
Ich fahre hier einen Firefox.

Vergessen mich einzuloggen…

Ich sehe das Problem darin, dass bei der Differenzierung von f(x) + c der Term dc/dx einfach wegfällt.
Ja, er ist zwar Null, doch bei der FT nicht…

Ja, genau das ist das Problem. Nur: Wie sehe ich einer gegebenen Funktion an, ob da noch so ein konstanter Term drinsteckt, oder nicht?

… indem Du die Funktion in ihre geraden und ungeraden Anteile aufteilst. Wie das geht steht im Skript, und wird auch in den Beispielen beschrieben. Ist der gerade Anteil eine Konstante (wie im oben genannten Beispiel der Heaviside-Funktion), so hast Du bei der Fourier-Transformation diesen auch als solchen zu beachten!

Das heisst, das Differentiationstheorem gilt nur für ungerade Funktionen?

Ich glaub, so langsam hab ichs. Das Differentiationstheorem gilt nur, für solche f(t), bei denen F(0)=0, also in denen kein konstanter Anteil enthalten ist, richtig?

Ich sehe ehrlich gesagt das Problem nicht:
Eine Funktion in R hat unendlich viele Stammfunktionen; das dieses Ergebnis auch bei der Fouriertransformierten erhalten bleibt ist doch nicht verwunderlich.