Hallo,
ich hab ein paar Unklarheiten zur Übertrgaungsfunktion.
1) Eigenwert -> Übetragungsfunktion:
"Es gibt Funktionen s_E(t), für die bei Übertragung über belibige LTI-System,e gilt: s_E(t) gefaltet mit g(t) = G * s_E(t)"
G ist dabei der Eigenwert des Systems. Weiter unten wird dann immer von der Übetragungsfunktion G(u) bzw. G(omega) geredet.
Ist das Schreibfehler in der ersten Formulierung, oder wie ist dieser Übergang zu verstehen?.
2) Variablensubstitution
Es werden tau durch t, und u durch omega ersetzt. Hab nicht mehr vor Augen warum das gemacht wird.
3) Veralgemeinerung mit beliebigen Signalen.
"Setzt man verallgemeinernd anstelle der Stoßantwort ein belibiges Signal s(t) ein, so ist das Signal als nicht abzählbare unendliche Reihe von Elementarsignalen s_E(t) […] darstellbar,…"
Warum ist hier s_E(t) plötzlich ein Elementarsignal? Vorher wurde eine Eigenfunktion damit beschrieben.
G(u) ist die Funktion für beliebige Frequenzen, die Übertragungsfunktion
hat man eine Eigenfunktion gegeben, also eine bestimmte Frequenz, kann man den zu dieser bestimmten Eigenfunktion zugehörigen Eigenwert (eine einzelne Zahl) berechnen,
nach der Substitution ist omega ja wieder mehr in der Variablen-/ Parameter-Rolle
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dass man tau durch t ersetzt ist doch verständlich,
jetzt siehts doch viel mehr wie die bisherigen Gleichungen zur Berechnung der Fouriertransformiererten G(w) auf g(t) aus,
und in der vorherigen Gleichung war t ja vergeben,
omega war dagegen von Anfang an frei, hätte also von Anfang an verwendet werden können,
vielleicht sollte in den ersten Gleichungen betont werden,
dass es sich um genau eine bestimmte Frequenz u geht,
omega klingt ja so allgemein, so unbestimmt wie t und tau
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die Elementarsignale sind die Eigenfunktionen,
die besonderen Funktionen, die 2 besondere Eigenschaft haben:
- ihre Faltung lässt sich durch Multiplikation berechnen (eigenmäßig)
- eine unendliche Reihe von ihnen kann jedes beliebige Signal darstellen (elementarmäßig)
(zumindest alle Funktionen die man fouriertransformieren kann?)
2 Eigenschaften -> 2 Begriffe für diese Funktionen, das muss man eben verkraften,
so wie man Regenschirme manchmal als Sonnenschirme nutzt ;)
Danke. Ich glaub 1) und 2) hab ich verstanden, allerdings ist mir dieser ganze Übergang von den Eigenfunktionen zum Faltungstheorem noch nicht klar. Kann mir das jemand nochmal in anderen Worten erklären? Ich kann leider gerade nciht sagen, woran ich mich festgedacht habe.
[quote]
y(t) = g(t) gefaltet s(t)
<=> exp(iut) gefaltet y(t) = exp(iut) gefaltet g(t) gefaltet s(t)
<=> exp(iut) * Y(w) = exp(iut) * G(w) * S(w)
<=> Y(w) = G(w) * S(w)
[/quote]
das stimmt so nicht, glaube ich, eher:
y(t) = g(t) gefaltet s(t)
<=> exp(iut) gefaltet y(t) = exp(iut) gefaltet g(t) gefaltet s(t)
<=> Fouriertransformierte(exp(iut)) * Y(w) = Fouriertransfomierte(exp(iut)) * G(w) * S(w)
<=> Y(w) = G(w) * S(w)
(ok, wenn exp(iut) = Fouriertransfomierte(exp(iut)), dann stimmts ;) )
aber das ist ja nur eine Anwendung des Faltungstheorems,
da hättes du ja gleich Y(w) = G(w) * S(w) hinschreiben können,
der Beweis/ die Herleitung ist wohl wie folgt eher durch nachrechnen gedacht
(meins vielleicht nicht ganz korrekt, Vertauschung von Integralen und ähnlich komliziertes,
aber so in der Art bestimmt ;) ):
y(t) = g(t) gefaltet s(t)
= g(t) gefaltet [Integral -oo bis +oo S(w) e^jwt dw]
(Darstellung durch unendliche Reihe von Elementarsignalen)
= Integral -oo bis +oo g(tau) * [Integral -oo bis +oo S(w) e^jw(t-tau) dw ] dtau
(normale Anwendung der Faltung)
= Integral -oo bis +oo S(w) e^jwt [Integral -oo bis +oo e^jw(-tau)* g(tau) dtau] dw
(umordnen, dtau und dw vertauschen)
= Integral -oo bis +oo S(w) e^jwt G(w) dw
= Integral -oo bis +oo [S(w)*G(w)] e^jwt dw
= Rücktransformierte von [S(w)*G(w)]
y(t) ist also die Rücktransformierte von [S(w)*G(w)]
=>
Y(w) = S(w)*G(w)
Hallo,
Danke für die schnelle Hilfe, allerdings konnte ich dem
Ganzen leider nicht so gut folgen, aber ich glaube mitlerweile hab ich anschaulih verstanden was passiert:
Für eine Elementarfunktion ist bekannt, wie diese durch die Übertragungsfunktion G(w) (welches die Fouriertransformierte der Stoßantwort g(t) ist) in der Amplitude verändert wird. Die Frequens dieser Elemantarfunktion bleibt dabei gleich.
Eine komplexe Funktion läßt sich aus Elementarfunktionen kombinieren. Durch Fouriertransformation kann für Jede der unendlich vielen Elementarschwingungen die Amplitude herausgefunden werden -> s(t) wird fouriertransformiert zu S(w). Da die Übertragungsfunktion G(w) für jede Frquenz bestimmt ist, kann nun das fouriertransformierte Eigangssignal S(w) mit der Übertragungsfunktion G(w) Multipliziert werden (sozusagen gewichtet werden). Dabei ändern sich nur die Amplituden, nicht die Frequenzen. Um nun das Ergebnisssignal y(t) zu gewinnen, muß nur F^-1{S(w)*G(w)} berechnet werden, um vom Frequenzbereich wieder in den Zeitbereich zu gelangen.
So, ich hoffe so stimmt das jetzt.
