Moinsen,

im STH Skript wird in Kapitel 4 (Folie 9,10) das Faltungsintegral als Grenzfall einer Treppenfunktion mit unendlich "kurzen Stufen" motiviert. Die Formel für das aproximierte Signal x verstehe ich nicht so richtig. Vielleicht kann mir jemand damit helfen.

(was mit dem math mode los?)

~ oo x(t) = x (t) = SUMME x(k eps) * x (t - k eps) * eps aprox k = -oo o
x_0 ist ein Rechteckimpuls der dauer epsilon und der höhe 1/epsilon.

Mir erschließt sich nicht, warum die Berechnung eines Funktionswertes der angenäherten Funktion x_aprox ( nämlich x_aprox (t) ) so kompliziert ist. Wozu summiert man über alle Treppen?

[edit: hatte ein t in der formel vergessen]

am besten die drei Faktoren zu verstehen versuchen
und auch mal überlegen aus was für Einzelwerten sich diese Summe zusammensetzt,

* erster Faktor x(k*e0) = Funktionswert von x an der Stelle k*e0,
* zweiter Faktor x0(t-k*e0) = Funktionswert von x0 an der Stelle t-k*e0,
das kann man erst mal so schlucken, wird später klarer,
* dritter Faktor e0: Breite des Rechteckimpuls,


wenn man sich das nun für verschiedene k anschaut sieht man was gemeint ist:



x:
4 ---- 3 / \ 2 / \ 1 / \ 0 --- ------- 0 2 4 6 .. also die Funktionswerte sollen hier 0,0,0,1,2,3,4,4,4,4,3,2,1,0,.. sein _ x0: |_| (ein Kästchen breit, eins hoch), e0=1 die Einzelfunktionen: k=negativ, k=0, k=1, k=2: erster Faktor x(k*e0) = 0, also eh alles 0 ----------------------------------- k=3: erster Faktor x(3*1) = 1, dritter Faktor x0 ist eh immer 1, spannend ist nur Faktor 2, der ist nämlich nur zwischen t=3 und t=4 1, sonst immer 0, hat also eine Ausblendeigenschaft: nur zwischen t=3 und t=4 hat die sich aus allen drei Faktoren ergebende Funktion den Wert 1 sonst immer 0: | --- ------------------------- k=4: erster Faktor nun 2, zweiter Faktor ist nun ein Fenster auf t=4 bis t=5 | | ---- ----------------------------- und so geht das weiter mit jedem weiteren k: | | | ----- ----------------------------- | | | | ------ ----------------------------- | | | | ------- ----------------------------- | | | | -------- ----------------------------- | | | | --------- ----------------------------- | | | ---------- ----------------------------- | | ----------- ----------------------------- | ------------ ----------------------------- summiert man alle Einzelfunktionen auf gibt es das was man haben möchte: |||| |||||| |||||||| |||||||||| --- --------------------- aus lauter einzelnen Treppen zusammen die Treppenfunktion die die Originalfunktion nähert, in der Summe sorgt also der zweite Faktor dafür, dass alle Summanden bis auf ein bestimmtes k (= eine bestimmte Treppestufe, denn jedes t liegt ja in genau einer Treppenstufe) wegfallen, ----------- warum nimmt man die Treppenfunkion als Approximation des Funktion x? weil man für jede einzelne Treppe (Rechteckimplus) die Reaktion des Systems bereits kennt, man also mit der Summe der Reaktionen der approximerten Funktion die Reaktion der Funktion x approximieren ;) edit falls die zweite Frage anders gemeint war: man summiert über alle Einzeltreppen, weil man für jedes x einen Funktionswert haben möchte und zwar aus einer einzelnen Formel heraus, wie sonst?

warum nimmt man die Treppenfunkion als Approximation des Funktion x? weil man für jede einzelne Treppe (Rechteckimplus) die Reaktion des Systems bereits kennt, <snip>

Man kennt doch immer nur die Systemantwort für einen Diracstoss, oder?

von mir aus,
dann muss man für diese Rechteckfunktion eben nur EINMAL die Transformierte ausrechnen
und kann sie danach für alle Stufen anwenden

Schon mal vielen Dank Slater für die lange Antwort. Das war schon mal ziemlich hilfreich. Ich hatte irgendwie übersehen, dass die Funktion für beliebige t's definiert wird und nicht nur für die k*epsilons.

Man "tastet" also sozusagen mit dem ersten Term ab, macht mit dem zweiten Term aus den Abtastpunkten Stufen, und korrigiert die Höhe der Stufen mit dem Faktor eps, da für größe eps's die Höhe kleiner wird.

falls die zweite Frage anders gemeint war:
man summiert über alle Einzeltreppen, weil man für jedes x einen Funktionswert haben möchte
und zwar aus einer einzelnen Formel heraus,
wie sonst?

Jo, so hatte ich die Frage gemeint. Wie sonst? Könnte man sich sich die Summe nicht sparen, wenn man irgendwie geschickt das k "berechnen" würde? So etwa k:=t/eps und dann ein bisschen floor und ceiling und so? Klar, dass man dann nicht in eine Form kommt, mit der man schön weiterrechnen kann aber das ging mir u.a. durch den Kopf.

[edit: geht das latex plugin nicht mehr?]