Hi,

Kap 3, Folie 1.

"…Zeichnet man die Spektrallinien für mehrere Signale im gleichen Maßstab auf, so rücken die einzelnen Linien um so näher zusammen, je größer die Periodendauer des Signals ist…"

Diesen Satz verstehe ich nicht. Kann ihn mir jemand erklären?

So wie ich das verstanden hab, ist die Fourier-Transformation die Transformation einer stetigen Funktion aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich. Die Funktion ist im Frequenzbereich wieder eine stetige Funktion und nicht (wie bei der harmonischen Analyse) bloß ein diskretes Amplituden/Phasenspektrum, richtig?!

Also meiner Meinung nach hat das ganze etwas mit dem Ähnlichkeitstheorem zu tun, denn danach ist ja die Fouriertransformierte von s(bt) gleich 1/|b| S(w/b), also wird der Abstand im Zeitbereich immer größer je größer b wird, und der Abstand im Frequenzbereich wird immer kleiner. Bei kleinerem b ist es dann halt umgekehrt.

Ah, ok, das leuchtet ein.


Noch eine Frage: wieder Kap 3, diesmal Folie 6.
Was bedeutet f(t+) bzw. f(t-) bei der Fallunterscheidung?

Danke!

mit Ähnlichkeit hat das noch nichts zu tun,

der zitierte Satz sagt im Grunde:
je größer die Periodendauer T, desto näher rücken die einzelnen Spektrallinien zusammen

und zwar mit dem (überflüssigen [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]) Hinweis,
dass eine Änderung des Maßstabes dieses Phänomen natürlich aufheben kann,


der Abstand der einzelnen Spektrallinien ist nämlich genau die Grundfrequenz = w_0 = 1/T,
also umgekehrt proportional zu T

——

die Fouriertransformation ist eine kontinuierliche Funktion
anstatt einer diskreten Funktion
(oder wie diese Ansammlung von Linien auch immer heißen mag.. ;) )

stetig muss sie nicht unbedingt sein
(siehe etwa die Transformierte der si-Funktion)

Was bedeutet f(t+) bzw. f(t-) bei der Fallunterscheidung?

das ist der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert der Funktion zum Zeitpunkt t,

etwa bei der Sprungfunktion für t=0 ist f(0+) = 1, f(0-) = 0,
der Mittelwert = 1/2

Alles klar, danke vielmals!

Noch eine kleine Frage:

Was genau bedeutet die Siebeigenschaft des Dirac-SToßes?
Ich hab es so verstanden, dass eine Funktion multipliziert mit einem Dirac-Stoß die Funktion reduziert auf einen Punkt bzw. einen Funktionswert.
Was mich aber verwirrt, ist warum die Dirac-Funktion um einen Betrag verschoben ist.

s(t) * delta(t) = s(0) * delta(t), das ist eine kontinuierliche Funktion über t, kein einzelner Funktionswert

möchte man diesen einzelnen Funktionswert bei t=0 haben, dann muss man noch integrieren!

I von -oo bis oo s(t) * delta(t) dt
= I von -oo bis oo s(0) * delta(t) dt
= s(0) * I von -oo bis oo delta(t) dt
= s(0) * 1
= s(0),

also ein einzelner Wert


—–

wenn man nun nicht nur s(0), sonder s(a) isolieren möchte,
dann muss man den Dirac-Stoß verschieben:

I von -oo bis oo s(t) * delta(t-a) dt
= I von -oo bis oo s(a) * delta(t-a) dt
= s(a) * I von -oo bis oo delta(t-a) dt
= s(a) * 1
= s(a)


bzw. so vielleicht einsichtlicher:

tau = t-a

I von -oo bis oo s(t) * delta(t-a) dt
= I von -oo bis oo s(tau+a) * delta(tau) dtau
= I von -oo bis oo s(0+a) * delta(tau) dtau
= s(a) * I von -oo bis oo delta(tau) dtau
= s(a) * 1
= s(a)