Prüfungsprotokoll Analysis I+II
bei O. Riemenschneider
23.07.2003

Es ging mit der seltsamen Frage "Was sind für Sie die reellen Zahlen?" los.
Zu "Körper" und "Vollständigkeit" kam dann nach etwas Überlegen noch "Archimedisch angeordnet".
Dann wollte er wissen, was archimedisch genau bedeutet,
sprich die logische Formel aufgeschrieben haben. Nach etwas
Fehlerkorrektur wollte er noch wissen, wie man sich das damals
gedacht hat. Ergebnis: Keine Skalierung einer kleinen Strecke, sondern vielfaches aneinanderlegen (elementarer Unterschied).
So, nachdem ich also schonmal schön aus dem Konzept war, ging es darum, warum Q nicht vollständig ist und es lief auf das Newtonverfahren hinaus (was ich gar nicht gelernt hatte).
Nachdem ich mir hier was zusammengeraten hatte und er viel beigesteuert hatte, kamen wir zum Mittelwertsatz der Diff-rechnung.
Ich hab ihm dann erstmal den Zwischenwertsatz aufgemalt (toll!) und nach dem entsprechenden Hinweis dann doch den MWS
hinbekommen. Leider war ich mir mal wieder in den Details unsicher, nämlich darin, ob f auf [a,b] diffb. sein muss oder nur (a,b). Das erste ist zu viel, das 2. zu wenig. Es fehlte noch Stetigkeit auf [a,b]…
Dann gab es einen längeren Teil zu Taylorpolynomen. Ich hab erklärt, dass sie zur Approximation gut sind und dann die
Taylorformel aufgeschrieben. Dann kam logischerweise sofort
die Restabschätzung sowohl als Lagrange-Restglied wie auch in
Integralform. (Bei letzterem war meine Unsicherheit bei "hoch n" oder "hoch n+1" ausnahmsweise mal nicht wichtig -> wusste
er auch nicht auswendig).
Nächste Frage: "Was heißt analytisch?" -> In Potenzreihe entwickelbar. Dann der Zusammenhang zum Taylorpolynom (also i-te Ableitung von f an der Stelle 0 = a_i der Potenzreihe).
Und schließlich die Frage, ob alle Fkt in Potenzreihe entwickelbar sind. Die Antwort ist natürlich nein, aber das Beispiel fiel mir nicht mehr sofort ein. Ich erinnerte mich
an irgendwas abschnittsweise definiertes mit e hoch x, habs aber nicht hinbekommen. Dann fiel mit rettenderweise noch f = x* sin 1/x ein, und konnte eine schöne Erklärung geben: Nullstellen häufen sich um 0 herum, also wegen der Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung…

Dann wurde ich gefragt, ob ich mir zutraue, die Lebesgue-Theorie zu erklären, was ich dann getan habe, wurde gefragt, warum die Dirichletfunktion (f = 1_{[0,1]\cup Q}) nicht Riemannintegrierbar ist (konnt ich eigentlich nicht sagen, liegt an Ober- und Untersumme). Und sollte schließlich eine Hüllreihe für diese Funktion angeben.
Das hat dann auch Herr R. für mich machen müssen.
Meine Erwartung, was ich als Note dafür kriegen würde, lag so in der Gegend von 3, umso überraschender war dann:
"So, Sie sind der erste Informatiker, den ich wie einen Dipl-Mathematiker geprüft habe,
und Sie haben sich ihre glatte Eins verdient." [img]http://www.fb18.de/gfx/2.gif[/img][img]http://www.fb18.de/gfx/18.gif[/img]…[img]http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img]

Alles in Allem: Details lernen ist wichtig und vor allem alles Mal jemandem erzählt haben in der Vorbereitung. => NIE wieder alleine lernen!

Herzlichen Glückwunsch..
na hoffentlich hab ich meine geplante Vorbereitungszeit von 10 Tagen da nicht etwas kurz gefasst [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Auf Taylorreien hätte ich nicht sooviel Lust. Vielleicht sollte ich doch noch schnell zu Bönecke wechseln..? [img]http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]

Ähm, gehört dieses Topic nicht eigentlich unter Ergänzungsfächer-> Mathematik?[img]http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img]
Wollte ich nur mal so angemerkt haben.[img]http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img]

hmm, langsam erschlägt mich ja die analysis-vorbereitung,
360 seiten im buch + noch mal das gleiche in den bisherigen
veröffentlichungen von H. Riemenschneider..,
das sind ja viel zu viele themen,


@Christoph: hast du die alle vorbereitet?, zum beispiel:

kapitel 8:
wie siehts etwa mit den ganzen geometrischen kram zu
sin, cos, arc, .. aus, hauptzweige davon, berechnung von Pi..

oder das ganze kapitel 10, lineare differentialgleichungen,
mit ewig beispielen, partikulären lösungen, ..

bei kapitel 11 alles von seite 210 - 229 mit
Eulerscher summenformel oder was weiss ich nicht alles,

(weitere kapitel kenn ich zum glück noch nicht)

meinst du das das alles wichtig ist/ konntest du das?



/
welches kapitel wurde in der vorlesung nicht behandelt, war das 12?

Ähm, gehört dieses Topic nicht eigentlich unter Ergänzungsfächer-> Mathematik?[img]http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img] Wollte ich nur mal so angemerkt haben.[img]http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img]

Hmm. Jap. Hat vollkommen recht der Mann. *Moved*

Hm, also ich habe im wesentlichen meine Notizen aus der VL herangezogen. Das Buch habe ich als Ergänzung einmal
durchgelesen. Gründlich gelesen habe ich alles, was klar und deutlich auch in der VL dran war (und was ich gut verstanden habe).
Zu sin und cos hab ich mir die Reihendarstellung gemerkt, wie man von exp auf diese Funktionen kommt, Verlauf in \mathbb{C}…
Differenzialgleichungen hab ich nahezu gar nicht verstanden, also hab ich mir die groben Lösungsansätze (e^{\int_{x_0}^x a(t) dt}) und so gemerkt. Kam Gott sei Dank nicht dran…

ich seh schon, du magst nicht einzeln darauf eingehen ;)

hast du die notizen noch in schönschrift zu verleihen?
(na ich hab ja auch einen in meinem stockwerk..)

Nun ich erinnere mich nur noch an so wenig… Ist so lange her

Aber ich habe etwa 5 Din-A4-Seiten zu verleihen. Damit gilt:

\exists Min_{Lesbarkeit}(alle möglichen Schriften) =>
meine Seiten sind darin geschrieben

so nun hab ich es ja langsam (also die oberen 10% von jedem thema [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img])

mir fehlt noch:
- Lebesgue-, Riemann-, Darboux-Integral
- Dirichlet-Funktion
- Hüllreihe
?
? (was fehlt noch wichtiges was nicht im buch steht?)


davon findet sich (bisher) noch nichts in anvorl2.pdf,
von gewissen mitschriften mal ganz zu schweigen ;)


Christoph (oder Zappi?), kanntest du das alles auswendig aus der Vorlesung
oder hast du eine gute Quelle, die mir das suchen erspart?/
hast vielleicht ein paar treffende aussagen, was jeweils markant ist?
(will dich aber nicht zu sehr an das Grauen erinnern,
wenn nicht dann nicht, kein problem)

Also zu den Integralen gibt es so viel zu sagen, dass ich
es nicht in einem (oder 2) Postings aufschreiben will. -> Vorlesungsnotizen

Dirichlet-Funktion:
f(x) = 1_{[0,1]} \cap \mathbb{Q}
also Indikatorfkt auf [0,1] geschnitten Q

Hüllreihe: eine \emph{abzählbare} Folge von
Treppen, die überall größer ist als f.
Das Lebesgueintegral ist dann definiert als
das Infimum dieser Hüllreihen. Also wesentlicher
Unterschied: Nicht endlich viele Treppen wie
bei Regelintegral, sondern abzählbar viele.

Jetzt hab ich doch noch ein kleinen wenig zu den Int. gesagt…

so aus und fertig:

Analysis I/II bei H. Riemenschneider 2003

also es ist wirklich schwer, bei H. Riemenschneider als Nebenfächler
keine 1.0 zu bekommen, Zappi, da bist du gefordert,

sehr lockere Atmosphäre, er scherzt viel rum wie in der Vorlesung,

und der Anspruch ist nicht allzu hoch, wie man an den Fragen sieht
oder als ich ihm am Anfang auf das Lebesgue-Kapitel im Skript
angesprochen habe, das zwar in der anvorl2.ps drin ist, in der
anvorl2.pdf aber bisher noch fehlt,
da hat er gleich abgewinkt, das käme eh nicht dran,

ich sollte wie in Algebra viel auf Zettel aufschreiben,




es ging los mit 'Was sind die reellen Zahlen?'

da kann man 'arch. angeord. vollst. Körper' sagen, fertig

Thema Anspruch:
ich meinte noch das alle anderen arch. angeord. vollst. Körper
zu R isomorph sind, da fragt er halb sich selber
'Wieso? Ach das müssen höchstens echte Mathematiker beweisen.'



nächstes Thema Zwischenwertsatz,

schön aufschreiben: Vorbedingung, Aussage und Beweisidee



nächstes Thema Doppelreihensatz, 'ach nicht so schnell,
sagen Sie erst mal was eine Reihe ist, und wann sie konvergiert'

das geklärt, Absolute Konvergenz braucht man auch noch,
dann den Doppelreihensatz ziemlich diffus erklärt,
mehrere Umschreibungen für diese komische (aber ihm sehr wichtige)
Vorbedingung 'sind alle endlichen Summen über beliebige a_j,k durch
festes K beschränkt' (da kannte er auch noch ne schönere Version von),
fand er dann im Endeffekt mit Hilfe auch ok,


daraus folgend noch der Cauchyprodukt-Satz,
da kamen wir irgendwie noch auf den Teil des Beweises zu sprechen,
dass man bei der Aufsummierung Teilfamilien durch die Grenzwerte
der absolut konvergenten Ausgangsreihen abschätzen kann
(siehe Beweis im Buch/ Skript)


nun mal ein schwerer Teil:
Beweis der Funktionalgleichung exp(z+w) = exp(z)*exp(w) mit Hilfe
des Cauchysatzes!,
dazu hab ich die exp-Reihenentwicklung und ein paar Zwischenschritte
analog zum Cauchysatz zu aufgeschrieben,
den interessanten Schritt wusste ich nicht,
das soll irgendwie mit Binominalreihen einfach machbar sein und im Skript
oder Übungsaufgaben stehen, haben wir nicht zu Ende geführt,



nun gut, nächstes Thema Regelfunktion, 'Was ist das?'

die Definition 'überall einseitige Grenzwerte' gefiel ihm nicht so,
'Das fällt ja nicht vom Himmel, wie hab ich das eingeführt?'
nach einer kleinen lustigen Diskussion um das Aussehen solcher
Funktionen hab ich dann 'approximierbar durch Treppenfunktionen'
ins Rennen geworfen, das fand er dann schön und die Welt wieder
in Ordnung, 'gleichmäßige Konvergenz' dabei wichtig


schließlich Hauptsatz der D. und I.-Rechnung

Thema Anspruch: da wollte er nur den einfachen für stetige Funktionen
und nicht für Regelfunktionen hören, aber der höhere war auch ok wenn
man den Zusatz der Stetigkeit auch erwähnt,

ich glaub mehr Themen waren nicht, am Anfang mit Doppelreihensatz
und exp-Beweis hat's ja auch ziemlich lange gedauert,



Note 'sehr gut', zum Glück war sich H. Riemenschneider nicht sicher
ob er überhaupt Zwischenschritte zwischen den glatten Noten geben darf ;),
ein paar Abstriche hätte er doch bei mir gesehen, was ähnlich
schmeichelhaft wie bei Christoph klingt,
den exp-Beweis hätte er erwarten können, sonst war alles mehr oder
weniger vorhanden,

H. Riemenschneider hatte übrigens nichts vorbereitet, keine Themenzettel,
klärte noch am Anfang:
'Also wozu darf ich Sie denn fragen, nur Analysis und keine Algebra?'

ich denk mal das die exotischen Themen: Riemannsche Summen,
Gamma-Funktion, höhere Integrale, lin. Diff.-gleichungen usw.
damit eher unwahrscheinlich sind, aber wer weiss..

Glückwunsch [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Aber setz mich nicht so unter Druck. Ich hab schließlich nur 10 Tage, um mich darauf vorzubereiten. [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

Ebenfalls Herzlichen Glückwunsch!!! [img]http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img]

Auch 1.0 [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Protokoll folgt, wenn ich wieder nüchtern bin. [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

Gar nicht schlecht fuer den Anfang! Glueckwunsch!
Viel Spass erstmal beim nuechtern werden! :)

Prüfungsprotokoll Analysis I+II
Prüfer: Oswald Riemenschneider
Datum: 10.10.03, 9:30

Zunächst mal kam Herr Riemenschneider etwas zu spät, und wäre nicht der Beisitzer erschienen, hätte ich vor Aufregung (Wer von uns hat jetzt nen falschen Termin im Kopf?) nen Herzinfarkt bekommen. Schließlich erschien er aber doch.

R: Sie sind Informatiker?
B: Ja
R:Dann haben Sie ja Anspruch auf 30 Minuten Prüfung…
B: hmm.. ne, eigentlich nicht. Unsere Prüfungen dauern auch nur 20 Minuten.
R: Menno.. da kann man ja gar nicht richtig in Fahrt kommen (grinst)
Das ist meine erste Prüfung nachm Urlaub.. ich weiß gar nicht mehr, was ich fragen muss.. womit fängt man denn eigentlich an?
B: Das überlasse ich Ihnen.

R: Gut, wann ist denn eine Funktion stetig?
B: Epsilon-Delta-Kriterium

R: Und wie ist das bei Folgen?
B: lim (x->x0) (f(x)) = f(x0)

R: Was ist denn gleichmäßige Stetigkeit?
B: Delta unabhängig von x.

R: Was wissen Sie denn über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen?
B: Sie lassen sich durch Treppenfunktionen approximieren.

R: Das wollte ich nicht hören
B: Mist. (grübel) Ach.. der Zwischenwertsatz gilt z.B.

R: Erklären Sie mal, was der aussagt.
B: (erläuter)

R: Wie beweist man den?
B: Ansatz aus dem Königsberger aufgesagt

R: Gut.. kommen wir nochmal zurück auf die stetigen Funktionen auf kompakten Intervallen, wie sieht das da mit dem Bild aus?
B: Das ist wieder ein kompaktes Intervall.

R: Gut. Was sagt formal der Mittelwertsatz für Differenzierbare Funktionen aus?
B: Da gabs ja mehrere von..

R: Ich meine den zweiten.
B: Ich weiß nicht, der wievielte das jetzt ist, aber ich male Ihnen mal einen auf.

R: Okay, ggf. müssen Sie ihn beweisen (grinst)
B: Hab den ersten aufgemalt, hab ne grafische Erläuterung gegeben, das reichte

R: Und jetzt zum 2. MWS: da haben Sie 2 Funktionen..
B: Zweiten MWS erläutert

R: Was sind denn eigentlich Potenzreihen?
B: aufgemalt

R: Aha.. und wann konvergieren die?
B: (stotter) wenn man sich im Konvergenzradius aufhält..

R: (guckt auf die Uhr) Schreiben Sie doch mal die Reihenentwicklung von der Exponentialfunktion auf.
B: Ich schrieb: expz= lim (1+z/n)^n

R: Ne, das andere
B: Achso: Summe z^k / k!

R: Okay. Beweisen Sie doch mal die Funktionalgleichung für diese Funktion.
B: Ich schreib die erstmal auf: exp(z+w)=exp(z)*exp(w) (zeitschind)
Das ging irgendwie mit dem Doppelreihensatz…

R: Was sagt der denn aus? Und wann ist er anwendbar?
B: (erläuter)

R: Naja.. dann können wir uns den Beweis auch sparen, das braucht nur Zeit.
(glück gehabt)

R: Hauptsatz der Diff+Integralrechnung
B: aufgeschrieben

R: Was ist dacon jetzt Aussage und was Interpretation?
B: (überleg) Ich verstehe ihre Frage nicht, ich halte den Satz für eine Aussage.

R: Naja.. wir haben das Integral ja noch gar nicht eingeführt, daher ist das was Sie da aufgeschrieben haben eine Interpretation oder Definition.. wie würden Sie denn das Integral definieren?
B: Regelintegral/Treppenfunktionen/..

R: Können Sie damit alles integrieren, was Sie wollen?
R: Nein.

R: Wie würden Sie denn arcsin integrieren
B: Am liebsten gar nicht

R: Sie können auch ohne das Integral rausgehen..
B: Hmm..(überleg lange) achjaa.. 1*arcsin und dann partielle Integration

R: Genau! Warten Sie bitte draußen.


Einige Sachen hab ich jetzt vergessen, aber.. das war so in etwa das Gespräch. Im Weiteren kam Folgendes dran:
Sind alle Funktionen stetig?
- Ne, das wäre langweilig, Diri.. Dirichl.. naja.. diese Funktion halt (Definition aufgenalt)
Warum nicht stetig?
- Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen immer noch irrationale Zahlen.
Was bedeutet Summierbarkeit in diesem Fall?
- Absolute Konvergenz
Unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz
Cauchy-Produkt
Taylor-Polynom, Restglied nach Lagrange


Die Atmosphäre war locker. Er macht viele Witze, und hilft, wenn man was nicht weiß.
Begründung der Note: Für einen Informatiker war das ne glatte 1. Er hätte sich das bei einem Mathematiker insgesamt noch etwas frischer vorgestellt, da wäre das dann nur 1.3 gewesen (Meinen Einwand, ich hätte mir die Uhrzeit nicht herausgesucht, ließ er gelten).

R: Okay. Beweisen Sie doch mal die Funktionalgleichung für diese Funktion.
B: Ich schreib die erstmal auf: exp(z+w)=exp(z)*exp(w) (zeitschind)
Das ging irgendwie mit dem Doppelreihensatz…

da kommt das bei mir dran und du lernst das nicht.. [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

hat mehr Glück als Verstand der Mann [img]http://www.fb18.de/gfx/sensationell.gif[/img]