Wir hatten ja schon mal so ein kleines Rätsel, wo die Missachtung einer Rechenregel in einem "Beweis" zu einem kuriosen Ergebnis führt. Hier ist ein anderes, welches ich gerade auf bash.org gesehen habe. Vielleicht möchte es sich ja jemand anschauen.

#522860 +(56)- [X]
<prepared>Theorem: All numbers are equal.
<prepared>Proof: Choose arbitrary a and b, and let t = a + b. Then
<prepared>a + b = t
<prepared>(a + b)(a - b) = t(a - b)
<prepared>a^2 - b^2 = ta - tb
<prepared>a^2 - ta = b^2 - tb
<prepared>a^2 - ta + (t^2)/4 = b^2 - tb + (t^2)/4
<prepared>(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
<prepared>a - t/2 = b - t/2
<prepared>a = b
<prepared>So all numbers are the same, and math is pointless.

Nhf n^2 = o^2 sbytg avpug mjvatraq n = o fbaqrea (n = o) bqre (n = -o). (deROT13)

Interessant, Mathe ist auch also ROT13 noch lesbar *g*

Achja, ein alter Trick [img]http://www.fb18.de/gfx/12.gif[/img].

Dhnqevrera vfg unyg avpug vawrxgvi. (deROT13)


Schöner finde ich das hier:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?n%5E2%3Dn%5Ccdot%20n%3D%5Coverbrace%7Bn%2B%5Ccdots%2Bn%7D%5En[/img]
Auf beiden Seiten nach n differenzieren:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?2n%3D%5Coverbrace%7B1%2B%5Ccdots%2B1%7D%5E%7Bn%7D%2C[/img]
also 2n=n.

Das ist ein wenig subtiler [img]http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img]

Wir hatten ja schon mal so ein kleines Rätsel, wo die Missachtung einer Rechenregel in einem "Beweis" zu einem kuriosen Ergebnis führt.

Wie lautete denn das?

Achja, ein alter Trick [img]http://www.fb18.de/gfx/12.gif[/img].

Dhnqevrera vfg unyg avpug vawrxgvi. (deROT13)


Schöner finde ich das hier:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?n%5E2%3Dn%5Ccdot%20n%3D%5Coverbrace%7Bn%2B%5Ccdots%2Bn%7D%5En[/img]
Auf beiden Seiten nach n differenzieren:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?2n%3D%5Coverbrace%7B1%2B%5Ccdots%2B1%7D%5E%7Bn%7D%2C[/img]
also 2n=n.

Das ist ein wenig subtiler [img]http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img]

Frv a artngvi

Qnaa tvyg
a zny a
hatyrvpu
a cyhf a cyhf a zvg a Fhzznaqra
(deROT13)

Frv a artngvi

Qnaa tvyg
a zny a
hatyrvpu
a cyhf a cyhf a zvg a Fhzznaqra
(deROT13)

OK, aber die Aussage ist für positive Zahlen schon schlimm genug,
oder? [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Qvr Fhzzraertry tvyg ahe shre xbafgnag ivryr Fhzznaqra. (deROT13)

Qvr Fhzzraertry tvyg ahe shre xbafgnag ivryr Fhzznaqra. (deROT13)

Evpugvt! Orvz Qvssreramvrera oyvro qnf rvar a
säyfpuyvpurejrvfr haireäaqreg. (deROT13)

Achja, noch ein Klassiker:

Sei a = b + c ==> a(a-b) = (b+c)(a-b) ==> a^2 - ab = ba + ca - b^2 - cb ==> a^2 - ab - ac = ba - b^2 - bc ==> a(a-b-c) = b(a-b-c) ==> a = b

Sei a = b + c ==> a(a-b) = (b+c)(a-b) ==> a^2 - ab = ba + ca - b^2 - cb ==> a^2 - ab - ac = ba - b^2 - bc ==> a(a-b-c) = b(a-b-c) ==> a = b

Wn, rvar Qvivfvba qhepu Ahyy ung znapuzny
hanatraruzr Xbafrdhramra :) (deROT13)

Und noch eins:

Beh.: Alle nat. Zahlen sind gleich.
Bew.: Durch vollst. Induktion
I.A.: Eine Zahl ist sicherlich gleich sich selbst. a1 = a1 I.V.: Seien jeweils n Zahlen gleich. I.S.: Fuer die Zahlen a1..an, an+1 gilt nach I.V.: a1 = ... = an und ebenso nach I.V. a2 = ... = an+1. Aufgrund der Transitivitaet also a1 = a2 = ... = an = an+1 q.e.d.

Und hier ein Beweis mit Bezug zum täglichen Leben:

Behauptung: Eine Katze hat neun Schwänze.
Beweis: Keine Katze hat acht Schwänze. Eine Katze hat einen Schwanz mehr als keine Katze.
Deshalb hat eine Katze neun Schwänze, qed.

Könnte jetzt noch jemand beweisen, dass weiß=schwarz gilt?

Jaja, und dann den Beweisführer übern Zebrastreifen schicken, schon klar [img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]

Da alle natürlichen Zahlen gleich sind (s.o.), bezeichne man schwarz mit 0, weiß hingegen mit 1.
Reicht doch.

So, da das Thread hier "Kleines Rechenrätsel" heisst, habe ich auch eine kleines rätsel.

Man hat 12 Kugel, die alle gleich aussehen, nur eine der Kugel wiegt anders als die anderen 11 Kugel, entweder leichter oder schwerer. Man hat dazu eine Waage und man kann bzw. darf insgesamt nur 3 mal wiegen. Man soll herausfinden durch (wie gesagt) 3 mal wiegen, welche der 12 Kugel anders wiegt, und man soll auch sagen können ob die Kugel schwerer oder leichter ist. Viel spaß [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]

PS: Die Lösung habe ich nach 2 Tage herausgefunden. Ich fand es richtig schwer. Vielleicht gibt es da Leute die es ganz schnell schaffen.

nK

Edit: Und nicht im Internet gucken. sonst ist ja blöd. ich habe es allein schaffen können. [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Edit: Und nicht im Internet gucken. sonst ist ja blöd. ich habe es allein schaffen können. [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Das versteht sich doch von selbst [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]

Ich hab noch ein nettes Informatikerrätsel, mit dem mich ein Kommilitone mal ganz schön zum Grübeln gebracht hat, obwohl die Lösung einem einfachen Prinzip folgt.

Es war einmal ein Zwergenreich, in dem hat jeder Zwerg entweder eine rote oder eine blaue Mütze auf. Jedoch darf solch ein Zwerg nicht schauen, was für eine Farbe er auf dem Kopf hat, auch darf ein Zwerg nicht anderen Zwergen erzählen, was sie für eine Mütze auf dem Kopf haben. Mützentausch ist auch verboten.

Eines Tages verlangt der König, dass alle seine Zwergenuntertanen sich zu seinem Vergnügen in einer Reihe aufstellen sollen, und zwar derart, dass die eine Hälfte der Reihe geschlossen rote und die andere Hälfte geschlossen blaue Mützen aufweist.

Anschauungsmaterial:

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Wie machen das die Zwerge, wobei sich jeder Zwerg selbstständig einreiht, ohne die Regeln zu brechen?

ROT13 bitte [img]http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]

Edit: Missverständliche Formulierung korrigiert.

alle halten sich die Augen zu und einer schubst sie alle auf die richtige Position in der Reihe ;)

Qre refgr Mjret xnaa fvpu wn refg zny uvafgryyra. Qnaa znpug wrqre jrvgrer Mjret rvasnpu sbytraqrf: jraa re ahe oynhr Mjretr fvrug, fgryyg re fvpu tnam uvagra na. Jraa re ahe ebgr Mjretr fvrug, tnam ibear. Jraa orervgf oynhr haq ebgr Mjretr qn fvaq, fgryyg re fvpu rvasnpu mjvfpura rvara oynhra haq ebgra (qn tvog rf ahe rvar Zötyvpuxrvg). (deROT13)

Qre refgr Mjret xnaa fvpu wn refg zny uvafgryyra. Qnaa znpug wrqre jrvgrer Mjret rvasnpu sbytraqrf: jraa re ahe oynhr Mjretr fvrug, fgryyg re fvpu tnam uvagra na. Jraa re ahe ebgr Mjretr fvrug, tnam ibear. Jraa orervgf oynhr haq ebgr Mjretr qn fvaq, fgryyg re fvpu rvasnpu mjvfpura rvara oynhra haq ebgra (qn tvog rf ahe rvar Zötyvpuxrvg). (deROT13)

Rüchtüch! [img]http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img][img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]

Zu den Kugeln: sehr schönes Rätsel [img]http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img][img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]

Hier meine Lösung:

Edit: Ich sehe gerade, dass bei diesem ROT13 wohl
eine Längenbeschränkung besteht. Ich schreibs
jetzt einfach Base64-kodiert. Zum Ansehen einmal
durch uudecode pipen und schwups liegt eine loesung.txt
auf der Platte, die man sich ansehen kann:
begin-base64 664 loesung.txt RGllIEz2c3VuZyBzY2hyZWlidCBzaWNoIHZlcm11dGxpY2ggbGVpY2h0ZXIK bWl0IFphaGxlbiwgZGVzaGFsYiBzaW5kIGVzIGJlaSBtaXIgWmFobGVuCmEx LC4uLixhMTIgbWl0IGRlbiBlbnRzcHJlY2hlbmRlbiBFaWdlbnNjaGFmdGVu LgpXaWUgc2ljaCBkaWUgT3BlcmF0aW9uZW4gYXVmIEt1Z2VsbiD8YmVydHJh Z2VuLAppc3Qgd29obCBvZmZlbnNpY2h0bGljaC4KCk1hbiBiaWxkZXQgenVu 5GNoc3QgQT1hMSthMithMythNCB1bmQgCkI9YTUrYTYrYTcrYTggdW5kIHZl cmdsZWljaHQgQSB1bmQgQi4KCkZhbGxzIEE9QjoKfCAgIERpZSBnZXN1Y2h0 ZSBaYWhsIGlzdCBpbiB7YTksLi4uLGExMn0uCnwgICBCaWxkZSBDPWExK2Ey K2EzLCBEPWE5K2ExMCthMTEKfCAgIEZhbGxzIEM9RDoKfCAgIHwgICBhMTIg aXN0IGRpZSBnZXN1Y2h0ZS4gVmVyZ2xlaWNoZSBhMTIgbWl0CnwgICB8ICAg ZWluZXIgYW5kZXJlbiB1bSB6dSBzZWhlbiwgb2IgYTEyIHp1IGdyb98KfCAg IHwgICBvZGVyIHp1IGtsZWluIGlzdC4KfCAgIEZhbGxzIEM8RDoKfCAgIHwg ICBEaWUgZ2VzdWNodGUgWmFobCBpc3QgaW4ge2E5LGExMCxhMTF9IHVuZAp8 ICAgfCAgIGlzdCB6dSBncm/fLgp8ICAgfCAgIEZhbGxzIGE5PGExMDogYTEw IGlzdCB6dSBncm/fLgp8ICAgfCAgIEZhbGxzIGE5PmExMDogYTkgaXN0IHp1 IGdyb98uCnwgICB8ICAgRmFsbHMgYTk9YTEwOiBhMTEgaXN0IHp1IGdyb98u CnwgICBGYWxscyBDPkQ6IEFuYWxvZyB6dW0gRmFsbCBDPEQgKGRpZXNtYWwg bWl0IAp8ICAgfCAgICAgICAgICAgICAgICAgICAgICAgICAgICAgICAienUg a2xlaW4iKQpTb25zdCBzZWkgb2huZSBFaW5zY2hy5G5rdW5nIEE8Qi4KfCAg IFNldHplIEM9YTErYTIrYTUsIEQ9YTMrYTQrYTYuCnwgICBGYWxscyBDPEQ6 CnwgICB8ICAgRGllIGdlc3VjaHRlIGlzdCBpbiB7YTEsYTIsYTZ9Lgp8ICAg fCAgIEZhbGxzIGExPGEyOiBhMSB6dSBrbGVpbgp8ICAgfCAgIEZhbGxzIGEx PmEyOiBhMiB6dSBrbGVpbgp8ICAgfCAgIEZhbGxzIGExPWEyOiBhNiB6dSBn cm/fLgp8ICAgRmFsbHMgQz5EOgp8ICAgfCAgIERpZSBnZXN1Y2h0ZSBpc3Qg aW4ge2EzLCBhNCwgYTV9Lgp8ICAgfCAgIEZhbGxzIGEzPmE0OiBhNCB6dSBr bGVpbi4KfCAgIHwgICBGYWxscyBhMzxhNDogYTMgenUga2xlaW4uCnwgICB8 ICAgRmFsbHMgYTM9YTQ6IGE1IHp1IGdyb98uCnwgICBGYWxscyBDPUQ6Cnwg ICB8ICAgRGllIGdlc3VjaHRlIGlzdCBpbiB7YTcsYTh9IHVuZCBpc3QgCnwg ICB8ICAgenUgZ3Jv3y4KfCAgIHwgICBGYWxscyBhNzxhODogYTggaXN0IHp1 IGdyb98uCnwgICB8ICAgRmFsbHMgYTc+YTg6IGE3IGlzdCB6dSBncm/fLgp8 ICAgfCAgIERlciBGYWxsIGE3PWE4IGthbm4gbmljaHQgZWludHJldGVuLgo= ====
Edit2: Ups, vergessen, einen Fall zu beschreiben. Korrigiert.

So, da das Thread hier "Kleines Rechenrätsel" heisst, habe ich auch eine kleines rätsel.

Man hat 12 Kugel, die alle gleich aussehen, nur eine der Kugel wiegt anders als die anderen 11 Kugel, entweder leichter oder schwerer.

Weiß man den von vornherein das "normale" Gewicht einer Kugel?

so wie ich die Aufgabe erinnere ist das Gewicht egal,
die Waage misst auch nicht genau sondern man kann links und rechts beliebig viele Kugeln drauftun uns sieht dann welche Seite schwerer ist

Weil's so schön war (und damit nitro-kuh auch was zum Knobeln
hat [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]), hab ich mir noch zwei Zusatzaufgaben ausgedacht.
Man kann sich ja fragen, ob es solche Verfahren auch für mehr
als n=12 Kugeln gibt. Aber die gibt es nicht:

a) Man zeige, dass es für n>13 kein Verfahren gibt, das mit
3 Wiegungen auskommt.

b) Man zeige, dass es für n=13 kein Verfahren gibt, das mit
3 Wiegungen auskommt (vielleicht ein bisschen schwieriger als a).

Kann man die Ursprungsaufgabe sowie a) und b) formal lösen oder braucht man da sowas wie "gesunden Menschenverstand" oder "Intuition"?

Kann man die Ursprungsaufgabe sowie a) und b) formal lösen oder braucht man da sowas wie "gesunden Menschenverstand" oder "Intuition"?

Also die Ursprungsaufgabe geht einfach so. Man muss halt
geeignet Wiegen (sind auch keine Spitzfindigkeiten drin).
Man kann auch die Formalisierung zuhilfe nehmen, die
unten kommt.

Was jetzt folgt, ist keine Lösung, kann man also ruhig lesen:

Da bei den Zusatzaufgaben was zu beweisen ist, muss man das ein
wenig formalisieren. Das geht zum Beispiel so:
Ein Lösungsverfahren besteht aus einem endlichen Automaten mit
zwei Arten von Zuständen, solchen zum Wiegen und Endzuständen.
Die "Wiege"-Zustände sind beschriftet mit den Kugeln(ummern),
die dort mit der Waage verglichen werden sollen. Und von jedem
Wiege-Zustand gehen (höchstens) drei Kanten ab - eine für jedes
Ergebnis der Wiegung. Und jeder Endzustand besitzt eine
Beschriftung, die angibt, welche der Kugeln das Verfahren für
die gesuchte hält und, ob sie schwerer oder leichter ist als die
anderen. Und natürlich gibt es einen Startzustand, bei dem man
mit dem Verfahren beginnt.

Mit dieser Formalisierung kann man natürlich ein Brute-Force-
Programm schreiben, das zumindest für die Ursprungsaufgabe
und Zusatzaufgabe a (Edit: Quatsch, b natürlich!) alle Verfahren
durchprobiert und ein richtiges ausgibt (bzw. sagt, dass es keins
gefunden hat), wenn man sich eine Abschätzung für die Zustandszahl
überlegt. Aber man kann auch mit Nachdenken auf alle Lösungen
kommen.

Edit: Dass ein Verfahren "mit drei Wiegungen auskommt" bedeutet
dann natürlich nicht, dass der Automat nur drei Wiege-Zustände
hat, sondern, dass auf jedem Pfad von Start- zu Endzustand nur
drei Wiegezustände vorkommen!

Also, für n=13 geht es doch. Und bis n = 18 geht es auch noch äquivalent. Erst für n > 18 geht es meiner Auffassung nach nicht mehr mit drei Wiegungen.

1. Jvrtra(Fgnegmhfgnaq): 5 haq 5 nhs qre Jnntr, 3 qnarora. Xnagr 1 (Qvr Jnntr oyrvog va Jnntr) anpu Mhfgnaq n (1 Xhtry nhf qre hefceüatyvpu arora qre Jnntr yvrtraqra Zratr oyrvog yvrtra, qvr orvqra erfgyvpura jreqra nhftrjbtra) iba qbeg 3 Xnagra va qvr qerv zötyvpura (deROT13)

Raqmhfgäaqr (ragjrqre qvr Xhtry arora qre Jnntr vfg qvr fpujrerer, bqre rora rvar qre orvqra nhs qre Jnntr). Xnagr 2(Rvar Jnntfpunyr trug anpu hagra) anpu Mhfgnaq o (3 Xhtrya nhf qre fpujrerera Zratr arora qvr Jnntr, 1 haq 1 qnenhs) iba qbeg rvar Xnagr anpu Mhfgnaq n (süe qra Snyy, qnß qvr orvqra Xhtrya nhs qre Jnntr tyrvpu fpujre fvaq) haq nafbafgra abpu mjrv Xnagra va qvr orvqra Raqmhfgäaqr süe qvr Säyyr zvg qre fpujrerera Xhtry nhs rvare qre orvqra Frvgra qre Jnntr. (deROT13)

EditTri: ROT13 gefixt

Sorry, aber wie wandele ich die lange url in den kurzen und knackigen rot13-Link?

Wegen der Längenbeschränkung noch den Rest der Lösung:


Raqmhfgnraqr süe qvr Snryyr zvg qre fpujrerera Xhtry nhs rvare qre orvqra Frvgra qre Jnntr. (deROT13)

Alter Sack:

Ah, es versucht also doch noch jemand [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Deine Lösung ist richtig, wenn man weiß, dass die
eine Kugel, die sich von allen anderen unterscheidet,
schwerer ist. Wenn man das voraussetzt, kommt
man mit dreimaligem Wiegen sogar bis n=27 (und weiter
nicht, und zwar mit dem gleichen Argument wie für
meine Zusatzaufgaben). Die Aufgabe von nitro-kuh
bestand allerdings darin herauszufinden, welche sich
von den anderen unterscheidet und ob sie leichter
oder schwerer ist.

Edit: Um hier nicht ganze unbegründet Sachen zu behaupten,
hier das Verfahren für n=27 (wenn bekannt ist, dass eine
Kugel schwerer ist):


Nhsgrvyra va qerv tyrvputebßr
Tehccra. Mjrv qniba iretyrvpura;
Orv Tyrvpufgnaq vfg qvr Xhtry va
qre hatrjbtrara Tehccr, fbafg va
qre fpujrera. Qnaa qnf Iresnuera
erxhefvi nhs qvr ireoyrvoraqr
Tehccr sbegfrgmra. (deROT13)