Bei Google ist heute anscheinend
Tag der Fraktale. Recht lohnenswert, was man da so alles findet.
Diese Seite hat mir z.B. sehr gut gefallen. Hier hat jemand das Standard-Rekursions-Quadrat, was häufig benutzt wird um grafisch Rekursion darzustellen, in 3D gerendert. Echt klasse:
[img]
http://www.3d-gfx.com/fractals/3d/spongegasket01.jpg[/img]
Bei Google ist heute anscheinend Tag der Fraktale.
Heute ist der 111. Geburtstag von
Gaston Julia, nach dem die Juliamenge benannt ist.
Inzwischen gibt's auch eine
Heise-News dazu. Jetzt weiß ich auch wer Julia ist. Dass es mit einem Geburtstag zu tun hat, dachte ich mir schon.
Der Menger-Schwamm sieht aber merkwürdig aus. Normalerweise ist dessen Volumen ja 0.
Hmmm: Wenn ein Körper das Volumen 0 hat, kann man dann durchgucken?
"Normalerweise" ist schon richtig. Hier haben die Dinger ja stark begrenzte, nicht unendliche, Iterationen. Idealerweise würde man dann wohl auch nicht durchgucken können.
Idealerweise würde man dann wohl auch nicht durchgucken können.
Also durch die Mitte kann man sehr gut durchgucken.
Habe ich "nicht" geschrieben? Ich meinte: Im Idealfall, also unendlich Iterationen, kann man das Ding natürlich nicht mehr sehen.
Als ich das gesehen hab, hab ich es gleich einem Freund mitgeteilt, der mir heute morgen als Zeichen seiner mathematischen Verdorbenheit davon berichtet hat, dass er kürzlich an der Gemüsetheke stand und versucht hat, diese eine Brokkolisorte rekursiv zu berechnen. [img]
http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]
http://images.google.de/images?q=Romanesco&hl=de&lr=&ie=UTF-8&sa=N&tab=wi
Romanesco ist das geilste Gemüse wo gibt…[img]
http://www.fb18.de/gfx/10.gif[/img]
Der Menger-Schwamm sieht aber merkwürdig aus. Normalerweise ist dessen Volumen ja 0.
Hmmm: Wenn ein Körper das Volumen 0 hat, kann man dann durchgucken?
Sollte man wirklich überall durchgucken können, wo seine Oberfläche doch [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cinfty[/img] ist? Das es an bestimmten Stellen geht ist klar. Aber überall?
Also ich würde sagen ja. Bin zwar noch nicht so schlau, dass ich das beweisen könnte.
Aber durch Luft kannste ja auch durchgucken, obwohl die Oberfläche eines jeden einzelnen Gasmoleküls summiert doch recht hoch wird. Der Vergleich hinkt möglicherweise, ist aber vielleicht ein Denkansatz.
Ich wusste bisher kaum was, über diese Ding. Habe aber gerade das hier gefunden:
…mit dem Begriff der Hausdorff-Dimension –, ergibt sich, dass der Menger-Schwamm 2,72683-dimensional ist
Interessant. Ich glaube darüber will ich mehr erfahren. Tritt der Schwamm im Laufe des Studiums zufällig mal irgendwann auf oder muss ich mir jetzt alles zusammen googlen?
Aber durch Luft kannste ja auch durchgucken, obwohl die Oberfläche eines jeden einzelnen Gasmoleküls summiert doch recht hoch wird. Der Vergleich hinkt möglicherweise, ist aber vielleicht ein Denkansatz.
finde ich nicht so überzeugend. Immerhin haben Moleküle bzw. Atome keine feste definierte Oberfläche oder Umrandung sondern sind werden nur durch Orbitalmodelle veranschaulicht, die wiederum eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit symbolisieren.
Das führt alos zu der eher philosophischen Frage, wie durchsichtig eine bestimmte Wahrscheinlichkeit ist [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Da Atomkern und Elektronen im Vergleich zur Atomgröße (wie auch immer man die definieren will) sehr klein sind, kann man also davon asugehen, das ein Atom größtenteils aus Nichts besteht, was ich durchaus als durchsichtig bezeichnen würde.
Romanesco ist das geilste Gemüse wo gibt…[img]http://www.fb18.de/gfx/10.gif[/img]
Ja, nicht wahr? Beim EWE gab es leider nur so ordinären Brokkoli. Den mag ich zwaretwas lieber, aber er sieht einfach nicht so genial aus… (Außerdem komme ich mir seit "Galactic Gigolo" da immer wie ein Mörder vor [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img] )
M schrieb:
finde ich nicht so überzeugend.
Ich sagte ja, dass der Vergleich möglicherweise hinkt.
Du hast ja Recht. Beim Atom ist die Sichtbarkeit eher von der Dichte der Materie abhängig. Und die ist beim Mengerschwamm extrem hoch. Bzw. extrem niedrig. Hmm. Das hilft irgendwie auch nicht weiter. [img]
http://www.fb18.de/gfx/12.gif[/img]
Eddi schrieb:
Beim EWE gab es leider nur so ordinären Brokkoli
Sowas. Dabei wissen wir doch seit den
Simpsons, dass Broccoli das gefährlichste Gemüse der Welt ist:
Marge: I thought broccoli was …
Hibbert: Oh, yes. one of the deadliest plants on earth. Why, it tries to warn you itself with its terrible taste.
[img]
http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]
Eddi schrieb:
Beim EWE gab es leider nur so ordinären Brokkoli
Sowas. Dabei wissen wir doch seit den Simpsons, dass Broccoli das gefährlichste Gemüse der Welt ist:
Marge: I thought broccoli was …
Hibbert: Oh, yes. one of the deadliest plants on earth. Why, it tries to warn you itself with its terrible taste.
[img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]
President eats Broccoli and lives!
(Jones in the Fast Lane) [img]
http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]
(2004.1) BehauptungDer Mengerschwamm ist nicht einmal entlang seiner Achsen durchsichtig.
Begründung:O.B.d.A. betrachte man den Mengerschwamm (als Quader [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7B%5B0%3B1%5D%7D%5E3[/img]) von vorne und teile ihn in [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?3%20%5Ctimes%203[/img] Quader. Der Quader in der Mitte ist durchsichtig. Man kann also bei [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cfrac13%20%3C%20x%2Cy%20%3C%20%5Cfrac23[/img] hindurchsehen. Bei den anderen Quadern hilft eine vollständige Induktion, um das jeweils mittlere Drittel als durchsichtig zu beweisen.
Was ist aber bei [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%20%3D%20%5Cfrac13[/img]? Diese Stelle ist niemals innerhalb eines mittleren Drittels. Man kann deshalb sort nicht hindurchsehen, da nur genau die Stellen durchsichtig sind, die innerhalb eines mittleren Drittels liegen.
Andererseits hat das undurchsichtige Intervall an der Stelle [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%20%3D%20%5Cfrac13[/img] die Breite 0. Ist es deshalb durchsichtig?
verwirrt_level
Nein, ich denke, Du hast mit Deiner Überlegung schon recht. Im Zentrum der Flächen ist der Schwamm durchsichtig. Aber der Punkt ist nun einmal eine Fläche ohne Breite oder Höhe, daher ist der Mengerschwamm undurchsichtig.
Hm, …oder vielleicht doch? Spaßiges Thema!
Naja, da aber unendlich viele Iterations-Schritte verwendet werden, müsste auch das letzte Drittel irgendwann durch ein "Loch" ersetzt werden. Wobei eigentlich auch nicht, weil da immer noch was übrig bleibt. Ist schon komisch dieses Ding. Irgendwie sind alle Überlegungen dazu falsch, aber doch irgendwie richtig.
Ist schon komisch dieses Ding. Irgendwie sind alle Überlegungen dazu falsch, aber doch irgendwie richtig.
Das ist nur logisch.
"Durchsichtig" bezieht sich implizit immer nur auf eine Modell statt direkt auf das abstrakte mathematische Gebilde (dafür ist der Begriff nicht genau genug definiert).
Sobald man also über die Eigenschaft "durchsichtig" nachdenkt, tut man das anhand eines Modells, bei dem eine Überlegung vollkommen zutreffend sein kann. Da aber kein Modell die gesamte Theorie umfasst, lässt sich zu jeder Überlegung ein Argument finden, was dieser in der Theorie widerspricht. [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Daß an bestimmten Stellen des Mengerschwamms (z.B. in der Mitte) garantiert nichts ist und an anderen bestimmten Stellen (z.B. entlang der Kanten) garantiert etwas ist, sagt ja noch nichts darüber aus, ob der Mengerschwamm durchsichtig ist.
Ob überhaupt etwas sichtbar ist, wird auch gar nicht dadurch bestimmt, ob etwas "da" ist: Durch Luft und Glas sehe ich auch durch, obwohl sie definitiv da sind. (Ok, meine Fensterscheibe ist so verdreckt, daß manche Leute behaupten, man könne
nicht durchgucken. [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img])
Wodurch aber wird bestimmt, ob man etwas "sieht"? Wir erklären es uns mit Hilfe von physikalischen Effekten. Die aber kann man beim Mengerschwamm nicht anwenden, er läßt sich ja z.B. auch nicht mit Atomen konstruieren. Er ist eben nicht "von dieser Welt".
Ein wenig spiegelt sich dieser seltsame Charakter des Mengerschwamms ja auch in seiner gebrochenen Dimension wieder: Er ist eben nicht 3-dimensional, wie die Welt in der wir leben. Wir haben in unserer Welt ja auch kaum etwas mit unendlicher Oberfläche (was noch dazu kein Volumen hat).
Physikalische Sichtbarkeit ist nicht anwendbar, also versuchen wir ein mathematisches Analogon zu bauen. Der Schwamm wird durch Strecken (Die die Eckpunkte und viele mehr, verbinden) definiert. Lichstrahlen sind, wie der Name schon sagt, Strahlen (Strecken mit nur einem Endpunkt -> halb Strecke halb Gerade). Ich denke, fuer das Analogon reichen aber auch schon Geraden aus. An Stellen, an denen wir eine Gerade durch den Schwamm legen koennen, ohne eine der Strecken zu schneiden, definieren wir den Schwamm als durchsichtig.
Dann sind wir wieder bei low_levels Problem mit den Dritteln. In der Mitte kann man nun wirklich eindeutig durchsehen, aber zu den Raendern werden die Strecken beliebig dicht, d.h, dass die Wahrscheinlichkeit dort eine Grade durchlegen zu koennen wird beliebig gering (bleibt aber trotzdem jederzeit unendlich gross)…
Ich krieg Kopfschmerzen… Lineare Algebra hat doch was damit zu tun, oder? .oO(*GNA*)
MoKrates
Könnte man in deinem mathematischen Modell eine Strecke (das eindimensionale Gebilde), die sich im Raum befindet, sehen? Dann wird man IMHO auch den Schwamm sehen, denn dort hat man sehr viele Strecken (unendlich).
Kann man eine Strecke nicht, aber eine ebene Fläche sehen? Dann wird man den Schwamm IMHO nicht sehen, denn dieser hat keinerlei ebene Flächen (auch wenn er paradoxerweise eine unendlich große Oberfläche hat).
Lichstrahlen sind, wie der Name schon sagt, Strahlen (Strecken mit nur einem Endpunkt -> halb Strecke halb Gerade).
Vielleicht bei Star Trek, aber sicherlich nicht in der Physik [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Zumindest Photonen oder Welle-Teilchen-Dualismus sollte man da schon berücksichtigen, mal abgesehen von gravimetrischen oder relativistischen Effekten.
Eben, wenn mans nämlich so sieht, entschärft sich das Problem doch gleich, weil man ja keine beliebig kleinen Dinge mit Lichtstrahlen sehen kann. Schon hat man nur noch endlich viele Iterationen, leider kommen dann noch so Scherze wie Beugung ins Spiel .oO(Physikprüfung) *wegrenn*
Könnte man in deinem mathematischen Modell eine Strecke (das eindimensionale Gebilde), die sich im Raum befindet, sehen?
Naja, nach meinem Modell *gibt* es Geraden, die die Strecken des Wuerfels schneiden, ergo: man kann ihn sehen. Wenn Deine Augen nicht ausreichen, um eindimensionale Dinge zu sehen… Fielmann!
Kann man eine Strecke nicht, aber eine ebene Fläche sehen? Dann wird man den Schwamm IMHO nicht sehen, denn dieser hat keinerlei ebene Flächen (auch wenn er paradoxerweise eine unendlich große Oberfläche hat).
hm? Wie kann etwas eine Oberflaeche haben, wenn es keine Flaechen besitzt? Also, die Summe aller Streckenlaengen ist unendlich (oder konvergiert die?… *buaaarrrrr!*)
Hm… Potenzreihe… (wenn das morgen nicht ausgerechnet ist, versuch ich mich dran! Herr Professor Guenther, bekomm ich dann meine Pruefung so durch…? [img]
http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img])
Beugung und so anderer Physikalischer foo sind fuer Anwender! Geht doch an die FH. [img]
http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]
MoKrates
Also… Um eure Gedanken etwas anzuspornen. Der Wuerfel war mir ein bisschen zu heftig, ich hab mal ein Quadrat genommen. Dort komme ich auf eine insgesamte Streckenlaenge von [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%5Cinfty%208%5Ei%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Ei%7D[/img]. Wenn ich richtig sehe, konvergiert das nicht, sondern divergiert. Beim Wuerfel wird das aehnlich sein, da dort nur die 8 durch eine *wesenlich* groessere Zahl ersetzt werden muesste, aber die Formel ansonsten gleich bleiben duerfte…
MoKrates
Man kann die Formel allerdings etwas schöner schreiben, wenn man das auf EINEN Bruch schreibt, dann steht da
Summe (8/3)^i [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
Und dann sieht man noch schneller, dass das divergiert, weil 8/3 > 1.
Knallkopf… Das waren noch Nachwirkungen von der Bursenparty… Immerhin hab ich das gestern noch gepostet, kurz nachdem ich unten zugemacht habe.
Fuer einen Wuerfel muesste es uebrigens, denke ich [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B56%7D%7B3%7D%5Cright)%7D%5Ei[/img] sein, wobei selbstverstaendlich auch das divergiert…
MoKrates
