Moin,

ich habe da ein Verständnisproblem bei Aufgabe 6.4.2.
Die Aufgabe ist ja eine Forsetzung des Beweises aus dem Skript von Satz 6.2:

Wenn eine Formel F allgemeingültig und sub eine Substitution ist, dann ist auch die Formel G:=sub(F) allgemeingültig.

Beweis:
Es sei A eine Belegung, A_1, …, A_n seien die in F vorkommenden Aussagensymbole.
Wir betrachten nun eine Belegung A', für die gilt: A'(A_i)=A(sub(A_i)). So eine Belegung gibt es, denn die Aussagensymbole sind kontingente Formeln.
Es gilt: A'(F)=A(G).
Zu zeigen durch strukturelle Induktion über F als Übung.
Da F allgemeingültig ist, ist A'(F) = 1, also auch A(G)=1

Die Aufgabe vom Zettel lautet:

Führen Sie den Beweis zu Satz 6.2 zuende. zeigen Sie dazu per struktureller Induktion:
Es sei sub eine Substitution und A, A' Belegungen für die gilt: A'(A_i)=A(sub(A_i)) für alle A_i element der Aussagesymbole der Aussagenlogik. Dann gilt für alle F Element der L_AL: A'(F)=A(sub(F))

Meine Fragen hierzu sind jetzt:
1. Im oberen Text ist von A'(F)=A(G) die rede, im unteren A'(F)=A(sub(F)). Dementsprechend ist A(G) = A(sub(F))?
2. Die formatierung im Skript ist etwas ungünstig, soll ich jetzt beweisen dass A'(F)=A(G) ist, was ja eigentlich eher eine definition ist, oder das A'(F) allgemeingültig ist, wenn F allgemeingültig war? Oder noch was anderes?

Ich stehe hier momentan leider vor einer Mauer und bekomme einfach nicht raus, was ich überhaupt beweisen soll, geschweige denn wie man so etwas über strukturelle Induktion beweisen sollte. Ein wenig hilfe währe hier echt super.

Danke schonmal.

Moin,

wie Du selbst zitiert hast, besagt Satz 6.2 u.a.:

… G:=sub(F) …

Damit hat sich die erste Frage, d.h.

1. Im oberen Text ist von A'(F)=A(G) die rede, im unteren A'(F)=A(sub(F)).

doch bereits erledigt, oder?


Und zur 2. Frage:

2. Die formatierung im Skript ist etwas ungünstig, soll ich jetzt beweisen dass A'(F)=A(G) ist, was ja eigentlich eher eine definition ist, oder das A'(F) allgemeingültig ist, wenn F allgemeingültig war? Oder noch was anderes?

Die Formulierung ist gar nicht ungünstig. Der Satz besagt:

Wenn eine Formel F …. ist, dann ist auch die Formel G  allgemeingültig.

Also ist eine WENN-DANN-Aussage zu beweisen.
Also Deine 2. Vermutung.