Hallo Leute,

ich habe ein großes Problem damit zu zeigen, dass n^c/c^n (wobei c element Natürliche Zahlen > 1 ist). Was ist hier der richtige Weg?

Also als Beispiel n^3/3^n

Danke euch

L'Hospital! Nach c Ableitungen ist der Zähler konstant und der Nenner strebt gegen unendlich. Dadurch strebt ein Bruch dieser Machart also immer gegen 0.
Betrachtest du die Reihe, hilft auch Quotienten-/Wurzelkriterium.

n^3/3^n=n^3/(e^(ln(3)*n))
Nach Satz von l'Hospital gilt dann:
=(3n^2)/(e^(ln(3)*n) * ln(3))
=(3n^2)/(3^n * ln(3))
=(6n)/(3^n * ln(3)^2)
=(6)/(3^n * ln(3)^3)

und das is 0 für n–>inf

Also allgemein hat man bei uns in Mathe immer gelten lassen, dass die Funktion mit x im Exponenten einfach schneller steigt als x^c mit festem c. Beim Ableiten wird der Nenner eben größer und der Zähler kleiner.

//edit: huch, zu langsam ^^

Genau so ist es ;-)
Dass c^n schneller steigt als n^c ist natürlich allseits bekannt und eine passende Antwort. Zusammen mit L'Hospital hast du dann auch eine kleine Rechnung, die deine Behauptung stützt.

danke leute,

aber n^3/3^n konvergiert gegen 33/8.

War wahrscheinlich falsch von mir Ausgedrückt. Die Formel ist:
E(n^3/3^n)  wobei E das Summenzeichen ist.

// Edit, meine Frage besteht also immer noch. Wie zeigt man das

Betrachtest du die Reihe, hilft auch Quotienten-/Wurzelkriterium.

Hast dus damit schon probiert? Wenn ja, wo bleibst du hängen?

Nein noch nicht probiert. Mach ich schnell. Stay tuned :)

Also Das Quotientenkriterium zeigt, dass die Reihe divergent ist. für n>= 3 ist (an+1)/(an) <= q < 1

Bringt mich das weiter`?

Das Kriterium zeigt für "lim < 1" immer, dass es konvergiert.
(Das selbe gilt für das Wurzelkriterium, das du auch gleich probieren solltest).
Wenn du Konvergenz nachweisen willst bist du also an der Stelle fertig.

ich möchte nachweisen gegen welchen wert das konvergiert

Und wieso sagst du das dann nicht? ;-)

Eventuell Abschätzen oder nach verwandten (Taylor?)Reihen suchen. Für diese konkrete Reihe fällt mir ad hoc keine kreative Methode ein. Vielleicht ja jemand anderem.
Du kannst den Wert allerdings bei schneller Konvergenz "zu Fuß" annähern indem du Werte in die Reihe einsetzt. Für diese Reihe sollte es bis n=8 ungefähr genügen und du hast eine akzeptable Schätzung.

Okay,

ich dachte die zu Fuß Methode wäre mathematisch nicht zulässig. Also falls jemand anders eine bessere Idee hat, als es zu schätzen, bitte melden :)

Vielen Dank soweit @ T4Y

Die Formel ist:
E(n^3/3^n)  wobei E das Summenzeichen ist.

[latex] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}[/latex] bzw. [latex] \lim_{i \to \infty} \sum\limits_{n=0}^{i} \frac{n^3}{3^n} = \frac{33}{8}[/latex]

/fixed