Mahlzeit !
Eine kurze Frage, bräuchte eine kleine Unterstützung:
Ich möchte das Integral (arctan(2x)) / 4x^2+1 ) dx berechnen….
Wie gehe ich am geschicktesten vor bei Bruch Integralen ?
Ist es am cleversten ( das wäre jetzt mein Vorschlag) den Bruch als Produkt aufzuschreiben und dann die Substitutionsregel anzuwenden ?
Falls ja, dann wähle ich f'(x) = (4x^2+1)^-1 und g (x) entsprechend den arctan(2x), weil ich bei dem letzteren ja die Ableitung kenne.
Wie leite ich denn dann (4x^2+1)^-1 AUF ?
Bin ich mit meinem Weg überhaupt richtig bei der Lösung für dieses Integral ?
Danke schonmal !
Ist es am cleversten ( das wäre jetzt mein Vorschlag) den Bruch als Produkt aufzuschreiben und dann die Substitutionsregel anzuwenden ?
Falls ja, dann wähle ich f'(x) = (4x^2+1)^-1 und g (x) entsprechend den arctan(2x), weil ich bei dem letzteren ja die Ableitung kenne.
Wie leite ich denn dann (4x^2+1)^-1 AUF ?
Bin ich mit meinem Weg überhaupt richtig bei der Lösung für dieses Integral ?
Hab das Gefühl dass Du nicht die Substitution hier meinst.
fange so an: t= arctan (2x) dann leite die Gleichung gleich ab, dann machst Du noch ein paar Schritte und kannst dann substituieren. Skript s.87 (abgekürztes Verfahren) kann Dir weiter helfen.
wie wird das newtonverfahren für wendestellen ausgerechnet , wenn x den grad höher als 2 hat ? wird hier die selbe Formel zur bestimmung verwendet ? sprich die zweite ableitung und die dritte ableitung wird benötigt um wendestellen zu bestimmen ?
Also ich hab dieses Integral mit 2 substitutionen geloest, zuerst substituiert man 2x durch u dann "arctan u" durch t, dann ist (4x^2) == (u^2) und man hat (u^2 + 1)^-1 was die Ableitung von arctan(u) ist und dt = (u^2 + 1)^-1 du.
Also ich hab dieses Integral mit 2 substitutionen geloest, zuerst substituiert man 2x durch u dann "arctan u" durch t, dann ist (4x^2) == (u^2) und man hat (u^2 + 1)^-1 was die Ableitung von arctan(u) ist und dt = (u^2 + 1)^-1 du.
und was ist Dein Ergebnis?
(1/2) t ^2 = 1/2 (arctan(u)) ^ 2 = 1/2 (arctan(2x)) ^ 2
jo, 1/2 vor dem integral, da 1/2du = dx, hab die Aufgabe nicht auf papier gerechnet, sondern daran erinnert, weil ich die schon mal gemacht hab.
Wie waere es mit paar anderen, die ich auch interessant fand:
integral((x^3 + 2x)sqrt(x^2 - 1))dx und
integral((18x^3 + 3x) sqrt(x^2(3x^2 + 1))) dx
und mein lieblings integral(cos(ln x))dx
die ersten beiden hab ich geloest, das letzte komm ich nach der ersten substitution nicht weiter, wolfram alpha gibt da eine komische Formel vor, aber mir waere es interessant, ob es auch ohne diese Formel gehen wuerde.
edit:
ok das letzte hab ich auch, aber der trick dazu hab ich im netz gefunden.
Kann jemand erklären wie man diese Gleichungen nach x auflöst?
1) t = arctan(2x)
2) t = sqr(2x +3)
Sind aus den Probeklausuren 1+2.
Wolfram gibt aus:
1) x = (tan(t))/2
2) x = 1/2(t^2 -3)
Leider versteh ich nicht wie man darauf kommt, fehlen mir irgendwo die passenden Umformungsregeln dafür schätz ich
Der Arcustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens, also
1) tan(t) = 2x.
Die Gegenrichtung zur Quadratwurzel (squareroot) ist Quadrieren, also
2) t^2 = 2x + 3.
