heyho,

sitze gerade bei stochastik an der präsenzübung 8. zweite Aufgabe. ich komme damit garnicht zurecht. Und zwar bereitet mir bereits folgende Aussage probleme:
Das Intervall [0,1] wird von einer Zuvallsvariable U die Rechteck(0,1) verteilt ist in zwei teile geteilt.
kann mir das einer erklären? für mich wird da nichts in zwei teile geteilt, die Rechteckverteilung ist doch auf dem ganzen intervall verteilt. oder ist das irgendwie anders gemeint?

Die auf (0,1) gleichverteilte Zv U nimmt irgendeinen Wert an, der dann das Intervall zerteilt in (0,U) und (U,1)

danke erstmal. mal sehen ob ichs richtig verstanden habe.
eine aufgabe war ja, die verteilung und den erwartungswert der kürzeren seite zu bestimmen.
Die Verteilung ist ja immer noch eine Gleichverteilung.
dann müsste das kürzere Stück doch folgende Dichte haben:

[latex]
f^u(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{U}, & \mbox{falls}\ 0<U< \frac{1}{2}\\ \frac{1}{1-U}, & \mbox{falls}\ \frac{1}{2} < U < 1\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.
[/latex]

ist das richtig? wenn ja, dann ist der erwartungswert ja kein problem. bin eben nicht sicher obs tatsächlich so einfach ist.

Mir liegt die Aufgabe nicht vor, aber wenn die Verteilung der kürzeren der beiden Intervalle (nicht Seiten) gefagt ist, dann macht Deine Lsg. wenig Sinn. Du gibst ja eine von U abhängende Dichte an, aber bei gegebenem U ist die Länge des kürzeren Intervalls eindeutig festgelegt.

Tatsächlich ist die Verteilung von min(U,1-U) gefragt, was grundsätzlich <= 1/2 sein muss. Am Einfachsten berechnet man die Verteilungsfunktion P{min(U,1-U)<=x} für 0<x<=1/2 aus, die sich leicht aus der Vf. von U ergibt.

die Länge des kürzeren Teilstücks ist meinetwegen L, so dass L=min(U, 1-U).
Das Minimum ist offensichtlich kleinergleich 0.5. Sei also x in [0, 0.5]

Dann ist die Verteilung von L zu finden indem man P(L<= x) bestimmt:

P(L <= x) = 1- P(U>x , 1-U > x)
= 1 - P(x < U < 1-x)
= 1 - [ P(U<= 1-x) - P(U<= x) ]
Da U gleichverteilt ist auf [0,1] gilt:
= 1- [(1-x) - x]
= 2x

Also ist L ~ R(0 , 0.5)

Daher gilt E[L]=0.25

hm, das hilft mir schon sehr. ich habe jetzt leider nicht verstanden, warum du die beiden Wahrscheinlichkeiten subtrahierst.
Ich habe es jetzt etwas anders gelöst, ist das auch ok?
also:
x ist in [0, 0,5]
1. P(U<x) = x, da gleichverteilt
2. P(U>x)=P(U<1-x)=1-x
im zweiten Fall gibt der Wert von U doch das längere STück an, also habe ich die Verteilung von L so berechnet:
P(L<=x)=P(U<x) + 1-P(U<1-x) = x + 1-(1-x) = 2x

geht das so auch?