Hi @all,
ich hänge gerade bei einer Aufgabe aus Hübners Buch. es geht um ein n faches Bernoulli Experiment. Eine Zufallsvariable(W) gibt die Wartezeit bis zum ersten Erfolg an und eine zweite (S) die Anzahl der Gesamterfolge.
W ist ja dann Geo+ verteilt und S binomial verteilt. Jetzt soll man die gemeinsame Verteilung bestimmen aber irgendwie kann ich mir das nicht wirklich vorstellen.

bei einem einfachen bernouli-experiment:
P({W=1}) = p
P({S=1}) = p
bedeutet es, das die gemeinsame Verteilung dann auch p ist?

bei einem zweifachen:
als beispiel W=1 und S=1:
P({W=1}) = p und P({S=1})= 2*p*q
und was ist davon jetzt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit? also P({W=1, S=1}) = ?

Ich hoffe, mir ist noch zu helfen :)

wo findet man die Aufgabe im Buch?

Ich finde die Aufgabe selbst gerade nicht. Welche Auflage ist eigentlich aktuell? Ich hab' hier eine dritte. Aber das Stichwortverzeichnis meint Bernoulli-Experiment, n-faches 51, das ist Kapitel 4, "Mehrstufige W-Modelle, Kopplung", Aufgaben ab Seite 57.

Hab das Buch gerade nicht zur Hand, aber es müsste 5.9.2 sein, in der vierten Auflage.

mh,

zu a) Gesucht ist die gemeinsame Verteilung von [latex]W_1[/latex] und [latex]S_n[/latex], wobei [latex]W_1[/latex] Die Wartezeit zum ersten Erfolg ist und [latex]S_n[/latex] die Gesamtzahl der Erfolge ist.

Daraus folgen doch ersteinmal folgende Dichten:
[latex]f^{W_1}(p;k) = p * q^{k-1}[/latex], wobei k der Zeitpunkt des ersten Erfolgs ist.
[latex]f^{S_n}(n;p;s) = {n \choose s} * p^s * q^{n-s}[/latex], wobei s die Gesamtzahl der Erfolge ist.

Gesucht ist nun die gemeinsame Verteilung, also folgender Zufallsvektor:
[latex]Y=(W_1, S_n)[/latex]

Ich bin mir jetzt bei der Schreibweise nich sicher, aber kann man jetzt nicht folgendes machen?:
[latex]P^{(W_1, S_n)} (k,s) = P(W_1 = k, S_n = s) = f^{(W_1, S_n)} (k,s) = p * q^{k-1} * {n \choose s} * p^s * q^{n-s}[/latex]
Ist das die gemeinsame Verteilung?

Bei b) müßte man dann nur noch für s die 1 einsetzen und könnte die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, also:
[latex]P(W_1 = k \vert S_n = 1) = \frac{P(W_1 = k, S_n=1)}{P(S_n=1)}[/latex]

Ja, nachdem ich gestern nochmal nachgelesen habe, bin ich mir auch sicher, dass die gemeinsame Verteilung eine Produktdichte sein muss. Trotzdem ist das Ergebnis für mich schwer vorstellbar. Ich bekomme irgendwie die Anzahl der Erfolge nicht in unter einen Hut mit dem Warten bis zum ersten Erfolg.
Also was bedeutet es, wenn man vier gesamterfolge hat und 20mal bis zum ersten Erfolg wartet? ich seh da die Gemeinsamkeit nicht -_-

Auf jeden Fall danke für die schnellen Antworten. Dann kann ich jetzt beruhigt weiterlernen :)