Aufgabe 39…

Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f(x; y) = e^(x+y)
auf dem Einheitskreis mittels des Lagrangeansatzes und der geränderten Hessematrix.

ich komm bei der aufgabe irgendwie nicht weiter. der einheitskreis soll wie ich vermute ein hinweis auf die nebenbedingung sein. aber das einzige was ich dazu finde ist e^i(pfi)= cos(pfi) + i sin(pfi).
ich weiß nicht wie mir das weiter helfen soll.
könnte mir vll jemand eine hilfestellung geben?

Hi,

das solltest du eigentlich mit der Schulmathematik mit auf den Weg bekommen haben. Mach' dir aber nichts draus, wir hatten das auch nicht …

Ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (a, b) erfüllt die Gleichung
[latex](x-a)^2+(y-b)^2 = r^2[/latex]

Jetzt überlege dir daraus die Gleichung des Einheitskreises und du bist quasi fertig.
Was du dir da rausgesucht hast in die Verbindung der e-Funktion mit den trigonometrischen Funktionen im Komplexen, beweisbar u.A. über ihre Taylor-Entwicklung. Ddas hat mit unserer Aufgabe Nr. 39 aber nichts zu tun, zumal wir uns im Rellen bewegen.

Viel Erfolg bei der Aufgabe!

Also ich habe die Aufgabe mit der Nebenbedingung x^2+y^2=1 gerechnet.
Muss aber sagen, dass das irgendwie ziemlich kompliziert aufging und darum bin ich mir nicht sicher, ob das die richtige Bedingung ist.

Hi,

da war nichts allzu Kompliziertes ;-)
Allerdings eine Fallunterscheidung …

Zumal du dein Ergebnis ganz einfach prüfen kannst, indem du schaust, ob es
1. auf dem Einheitskreis liegt (einfach mal die Koordinaten in die Nebenbedingung einsetzen)
2. dir mal die Funktion plotten lässt und guckst, ob dein Ergebnis auch "optisch plausibel" ist.

Hallo,

kann mir wer einen Tip für die Aufgabe 37 geben?

a) Berechnen Sie die Taylorpolynome bis Grad 5 für die Funktion e^x cos(x)

Sehe ich das richtig, dass ich die Polynome am Entwicklungspunkt 0 bilden kann, auch wenn kein Entwicklungspunkt in der Aufgabe steht?

b) Welchen Konvergenzradius hat die zugehörige Taylorreihe gemäß der Information, die im Skript angegeben ist?

Wie mache ich aus den Polynomen nun eine Reihe? Ich hab die Funktion mit Entwicklungspunkt 0 mal durch Wolfram Alpha gejagt und meine Polynome sind richtig nur steht da für die Reihe eine nicht unbedingt eingängige Doppelsumme, auf die ich anhand der Polynome nie gekommen wäre. Diese Doppelsumme ist dann doch keine Taylorreihe oder?

a) Jap, Entw.pkt a = 0 (das ist immer Standard, falls nichts angegeben)

b) Diese Doppelsumme ist m.M.n. schon die Taylorreihe. Das ergibt sich, da z.B. die Polynome nicht mit geradem/ungeradem Summen-Index abwechselnd das Vorzeichen ändern, sondern nach einem "höheren" Muster (näml. alle 4 Reihenglieder). Da sind 2 Summenzeichen ausdrucksstärker als eins.

Ich vermute aber (ohne die Alternative parat zu haben, sorry) um die Frage nach dem Konvergenzradius zu beantworten, muss du diese Reihe gar nicht bilden.

Dankschön.

Die Frage nun ist, wie ich den Konvergenzradius finde, ohne die Reihe zu kennen?

Ich weiß es leider selbst nicht. Eine Idee ist, jeweils die Grenzwerte der Taylorreihen von den Teilfunktionen [latex] e^{(x+y)}[/latex] und [latex] cos(x) [/latex] zu betrachten und was sich dann bei Multiplikation ergibt. Aber sicher bin ich mir da auch nicht….