Hallo. Ich löse gerade die Aufgaben im Buch und bin bei A 2.9.2 angekommen. Doch diese erscheint mir irgendwie viel zu einfach. Also die Aufgabe lautet:

Ein Bluttest ergebe bei erkrankten Personen mit einer Sicherheit von 96% ein positives ergebnis, bei gesunden Personenen mit 94% ein negatives. Im Durchschnitt ist jede 145-ste Person befallen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Versuchsperson, die ein positives Testergebis erhält, auch wirklich krank ist?

b) Wie groß ist bei negativem Ausgang die Wahrscheinlichkeit, trotzdem krank zu sein?

Sind die Antworten nicht mehr oder weniger bereits im Text gegeben? Bei a) ist das ja die Sicherheit von 96%, bei b) die 6% Unsicherheit.

Oder sehe ich das ganze zu simpel?

Ja, das siehst du zu simpel.

Ja, das siehst du zu simpel.

Diese Antwort habe ich von dir erwartet. Hat mich super aufgeklärt, danke. Tz.

vlt helfen dir die Stichwörter "Bayes Umkehrformel" und "Satz der totalen Wahrscheinlichkeit" weiter

Danke, da muss ich nochmal drüberlesen. Hm.

Ich habe irgendwie generell ein kleines Problem.

P(AB) = P(A) * P(B)

gilt ja nur, wenn A und B sto. u. sind.

P(AB) = P(B) * P(A|B)

Wenn sie bedingt abhängig sind. Jetzt ist das für mich ein Teufelskreis. Wie komme ich auf P(AB), wenn P(A|B) nicht gegeben ist bzw andersherum? Im Buch ist das ja nur eine Umformung, P(A|B) = P(AB)/P(B) –> P(AB) = P(B)*P(A|B)

D.h. mit den bisher verfügbaren Formeln muss ich entweder P(AB) oder P(A|B) kennen.

Ist das bei allen Aufgaben der Fall?

Habe mir jetzt überlegt, dass man die Wahrscheinlichkeiten bei dieser Aufgabe so formulieren müsste (mit den Durchschnittlichen befallenen)

P(A) = "Test positiv, Person krank" = 0,96
P(B) = "Test negativ, Person gesund" = 0,94
P(C) = "Person ist die eine aus 145" = 1/145
P(nichtC) = 144/145

Für (a) wäre das imo dann: P(A geschnitten C) –> P(AC)
Für (b) : P(B geschnitten nicht C) –> P(BnichtC)

Jetzt weiss ich aber weder P(AC) noch P(A|C), was ich imo sowohl bei der totalen Wahrscheinlichkeit als auch bei Bayes Umkehr-Formel bräuchte.

Könnte mich jemand aufklären?

PS. Habe auch versucht, die ausdrücke von geschnitten auf vereinigt zu übertragen, aber auch bei der Vereinigung brauche ich ein P(AB)

P(A vereinigt B) = P(A) + P(B) - P(AB)

:(

Du hast 2 Ereignisse in 1 Ereignis gepackt, dass kan nur schief gehen.

Versuch es mal mit A: Test positiv  und B: PErson gesund.

Du hast 2 Ereignisse in 1 Ereignis gepackt, dass kan nur schief gehen.

Versuch es mal mit A: Test positiv  und B: PErson gesund.

Genau, denn "Test positiv, Person krank" = 0,96 wäre schon eine bedingte W. nämlich P(A|B)

Ah, ich seh schon- dankeschön!


Also kann ich tatsächlich davon ausgehen, dass bisher entweder P(AB) oder P(A|B) gegeben sein muss oder ist da immernoch etwas, was nich nicht so richtig durchblickt habe?


Aber soweit schonmal vielen dank. Echt nett von euch.

Hm, habe anderwaltig gelesen und nun nochmal mit "frischem Kopf" dieselbe Aufgabe gemacht. Bin mir aber wieder nicht so sicher. o.O

Für a)

P(A) = "Person ist krank" = ? //wird gesucht
P(B) = "Test ist positiv" = 1 //da Voraussetzung Test positiv
P(A|B) = "Person krank, Test pos" = 0,96 //in Aufgabe
P(E) = "Person ist eine der befallenen von 145" = 1/145 //in Aufgabe
P(A|E) = "Person krank, Person befallen" = 1 //Wenn Person eine der befallenen, dann auch auf jeden Fall krank

P(A) = P(B) * P(A|B) + P(A|E) * P(E)
P(A) = 1*096 + 1*(1/145) = 0,967


Kommt das irgendwie hin? Wenn komplett falsch, wäre jemand so gütig das kurz richtig aufzuschreiben?

Also.. du hast 4 verschiedene Ereignisse: A=Person krank, B=Person gesund, C=Test positiv, D=Test negativ.
Im Prinzip kann man ausrechnen:

[latex]
\begin{array}{llll}
P(A), & P(B), & P( C), & P(D), \\
P(A \mid C), & P(A \mid D), & P(B \mid C), & P(B \mid D), \\
P(C \mid A), & P(C \mid B), & P(D \mid A), & P(D \mid B), \\
P(A \cap C), & P(A \cap D), & P(B \cap C), & P(B \cap D), \\
P(C \cap A), & P(C \cap B), & P(D \cap A), & P(D \cap B)
\end{array}
[/latex]

Ein paar der Wahrscheinlichkeiten sind durch die Aufgabenstellung gegeben, welche?
Wie ist das Verhältnis zwischen verschiedenen Wahrscheinlichkeiten? Z. B. ist P(A) + P(B) = 1.
Welche sollen laut Aufgabenstellung berechnet werden?

@ Anonymer User, 22:51
Du bringst hier einiges durcheinander. Wenn ein Ereignis eingetreten ist, heißt dies nicht, dass es W. 1 hat, also eintreten MUSSTE. Du darft also nicht P(B)=1 ansetzen.

P(A|B) ist NICHT die W. von "Person krank, Test positiv", sondern die BEDINGTE W., dass die Person krank ist, wenn man weiß, dass der Test positiv ausgefallen ist. Bedingte W. sind KEINE W. von Ereignissen, sondern Verhältnisse von W. (Die W. von "Person krank, Test positiv" ist im übrigen P(AB).)

P(A|B) ist die bedingte W., dass die Person krank ist, wenn der Test positiv ausgefallen ist. In der Aufgabenstellung ist aber die bed. W. dafür gegeben, dass der Test positiv ausfällt, wenn die Person krank ist, also P(B|A)=0,96. Du musst aufpassen, nicht das Ereignis, nach dem bedingt wird (von dem also bekannt ist, dass es eingetreten ist), zu verwechseln mit dem Ereignis, dessen bed. W. gesucht ist.

Ich hoffe, das hat etwas weiter geholfen.

Danke ihr zwei, sobald ich heute wieder etwas Zeit habe, werde ich mir euere Tipps genau durchlesen und die Aufgabe erneut angehen.

Moin moin.

Würde dieses hier für a) zutreffen?

(0,5 * 0,96) / (0,5*0,96) + (0,5*0,06)

= 0,48 / 0,48 + 0,03

= 0,48 / 0,51 = 0,94117…

?

Da ich nicht weiss, wie genau die Verteilung von gesund/krank ist, nehme ich beides für gleichwahrscheinlich an. also P(Person krank) = P(Person gesund) = 0,5

Dann schaue ich mir die Möglichkeiten an, wie es zu einem positiven Ergebnis kommen könnte.

Das wäre Person krank (0,5) und Test positiv(0,96)
Und Person gesund(0,5) , Test aber trotzdem positiv (0,04).

Jetzt nutze ich die erste Pfadregel:
(0,5*0,96) + (0,5*0,04)

Die hier der totalen Wahrscheinlichkeit entspricht. Dann wende ich Bayes umkehrformel wie oben gezeigt an.

Und? Endlich richtig? Ich zweifle fast daran.


Falls falsch, könnte mir jemand das Ergebnis verraten?

Für b) hätte ich entsprechend:

0,5*0,04/(0,5*0,94+0,5*0,04)

= 0,02/ (0,02 + 0,47) = 0,040816…

Da ich nicht weiss, wie genau die Verteilung von gesund/krank ist…

Das steht doch im Text. "Im Durchschnitt ist jede 145-ste Person befallen."

Ich finde das mit den 4 Ereignissen etws verwirrend. Ich habs bei mir so gemacht:
A: "Die Person ist krank."
B: "Die Person erhält ein positives Ergebnis."

Die anderen Möglichkeiten erhält man dann durch A-Komplement und B-Komplement.
3 Wahrscheinlichkeiten sind im Text explizit gegeben, 3 implizit.

Die 6 reichen aus um a) mittels der Bayes-Umkehrformel zu berechnen, also P(A|B).

Raus hatte ich bei a) 0,1 und bei b) 0,000295 und wurde beides vom Korrektuer mit nem Haken versehen. Falls du den genauen Weg sehen willst, hab meine Lösungen ja in nem anderen Topic gepostet: http://www.fb18.de/mybb/showthread.php?tid=11465

Gruß
Jan

Ahhh ja stimmt, du hast recht. Habe das ganz vergessen. Also müsste ich meine Formel abwandeln zu:


((1/145)* 0,96) / ((1/145)*0,96) + ((144/145) * 0,06)

Und es kommt tatsache 0,1 heraus. Wobei ich es intuitiv sehr merkwürdig finde, dass die person bei positivem Ergebnis nur mit 10%iger Wahrscheinlichkeit krank sein soll. :/


Auch bei der zweiten Rechnung stimmt es dann:


(1/145)*0,04/((144/145)*0,94+(1/145)*0,04)) = 0.00029542097489


Danke für die Ergebnisse! Jetzt weiss ich zumindest, dass ich es richtig angehe (wenn wahrscheinlich auch nicht besonders optimal. Aber das tangiert mich nicht :D)