FB18 - Das Forum für Informatik

fb18.de / Bachelorstudieng / PM Mathematik

STO Blatt 5

STO Blatt 5 2010-05-08 20:33
Anonymer User
Moin moin, ich sitz gerade am Blatt 5, und rätsel über die Aufgabe 5.1.
Ich versteh nicht wirklich, was hier gefordert ist, da der Abschnitt über Kopplungen von stetigen W-modellen im Buch doch eher sehr knapp gehalten ist. (Ein Beispiel wäre hier schön)

Für die Leute, die den Aufgabezettel nicht im Zugriff haben hier die Aufgabe:
Ein Handwerker benötige zur Reparatur einer Waschmaschine zwischen 10 und 40 Minuten (stetig gleichverteilt). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Geräte innerhalb einer Stunde schafft (Ereignis A), (a) wenn die Zeiten für beide Geräte unabhängig sind, (b) wenn er, falls die erste Reparatur unter 30 Minuten gedauert hat, vor der zweiten Reparatur eine Pause von 10 Minuten macht. Man gebe in beiden Fällen eine R-Dichte in R² an und skizziere das Ereignis A.

Ich habe mir jetzt für a) und b) je ein Koordinatensystem im R² aufgemalt, in der die y-Achse die Bearbeitungszeit des ersten Geräts ist und die x-Achse die des zweiten darstellt (ist das mit der Skizze gemeint?). Zur Berechnung hab ich dann einfach die Gesamtfläche mit der Fläche, die für eine Stunde Gesamtzeit in Ordnung ist, vergleichen (Das Volumen, um das es ja eigentlich gehen müsste hier, sollte wegen der Gleichverteilung egal sein.). Das scheint mir aber eine sehr geometrische Lösung, und ich glaube auch nicht, dass das stimmt.
Und für die R-Dichte macht man dann je nach Intervall eine Fallunterscheidung?

was meint ihr?

RE: STO Blatt 5 2010-05-09 00:14
Anonymer User
Hat sich erledigt, bin selber drauf gekommen.

RE: STO Blatt 5 2010-05-09 18:31
Anonymer User
Wie hast du's denn gemacht? Ich hab mir gedacht, bei a) unabhängige Kopplung und bei b) per Doppelintegral, bin aber sehr unsicher.

RE: STO Blatt 5 2010-05-10 22:51
Anonymer User
Habe beide mit dem Doppelintegral gelöst.

Gruß

RE: STO Blatt 5 2010-05-12 18:21
Anonymer User
In welchen Bereichen betrachten man den jeweils die Integrale ? Ich komm da nicht drauf :/
Das erste von 10-40 und das zweite von 10-20 ?!

RE: STO Blatt 5 2010-05-13 13:54
Anonymer User
Mal ne Frage wann/wie sollen die Übungsgruppen von heute(Vatertag) das Blatt abgeben?
Glaube er hatte irgendwas gesagt dazu aber ich weiss es nicht mehr…

RE: STO Blatt 5 2010-05-13 14:33
Anonymer User
Mal ne Frage wann/wie sollen die Übungsgruppen von heute(Vatertag) das Blatt abgeben?
Glaube er hatte irgendwas gesagt dazu aber ich weiss es nicht mehr…
Nächste Woche werden zwei Blätter abgegeben.

RE: STO Blatt 5 2010-05-13 14:36
Anonymer User
alles klar, danke :)

RE: STO Blatt 5 2010-05-16 15:47
Anonymer User
wieviele blätter gibts denn eigentlich insgesamt?
5?
Und hat jemand das 5. Blatt?
danke

RE: STO Blatt 5 2010-05-17 15:32
Anonymer User
kann mir keiner einen Tipp geben, in welchen Intervallen man die zwei Integrale betrachetet ? :/

RE: STO Blatt 5 2010-05-18 19:54
Anonymer User
Frag ich mich auch, und ist das dann einfach die Funktion der Rechteckverteilung über die Integriert wird?

RE: STO Blatt 5 2010-05-19 09:43
Anonymer User
Kommt schon, helft uns bitte bei 5.1

RE: STO Blatt 5 2010-05-19 16:11
Anonymer User
Bei a) liegt eine unabhängige Koppelung vor, die R-Dichte ist also f(x,y)=g(x) g(y), wobei g R-Dichte der Gleichvtlg. auf (10,40) ist.

Bei b) liegt eine echte Koppelung vor mit Dichte f(x,y)=g(x) h(x; y), wobei h(x;y)=g(y), falls x>=30 und
h(x;y)=g(y-10) (also Gleichverteilungsdichte auf (20,50) wg. der 10 Min. Pause), falls x<30.

Die gesuchte W. erhält man als Doppelintegral von f über die Menge der (x,y) mit x+y<=60.

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 00:01
7formell
Moin moin,

nun habe ich die Lösung für diese Aufgabe und versteh es immer noch nicht so recht:

a) Also wir haben eine unabhängig Kopplung zweier Gleichverteilungen:
[latex]f_2^1(w_1,w_2) = f_1(w_1) * f_2(w_2) = \frac{1}{30} * 1_{(10,40)}(w_1) * \frac{1}{30} * 1_{(10,40)}(w_1)[/latex]

Das geht glaub ich soweit noch, dann aber folgendes:
[latex]\int_{10}^{40} \frac{1}{30} \int_{0}^{60-w_1} f_2^1 (w_1, w_2) dw_2 dw_1[/latex]

Kann mir jemand dieses Doppelintegral erklären? Wieso verläuft das erste von 10-40 und das zweite von 0-60 ? Das es dabei um die benötigten 10-40min für eine Reperatur gehen soll ist klar - vorstellen kann ichs mir aber noch nicht…

Im nächsten Schritt hatten wir dann:
[latex]\frac{1}{900}\int^{40}_{10} * \int^{min(40,60-w_1)}_10…dw_2dw_1[/latex]

Da kann ich nun gar nicht mehr folgen - wie kommt man auf diese Zeile?! Woher kommt das min - und was bedeutet das hier ?!

Dominik

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 00:16
Anonymer User
Erstmal das 60-w1 ergibt sich folgendermaßen:
Du sollst überprüfen mit welcher Wahrscheinlichekeit er es ja in einer Stunde schafft.
Spricht für die erste Reparatur gibst du ihn die volle Zeit die er benötigen kann, was ja 10-40 Minuten sind.
Bei der zweiten Reparatur hat er dann noch 60-w1  (w1 gibt hier die Zeit an, die er für die erste Maschine gebraucht hat). Spricht ihm bleiben noch maximal so viele Minuten um es in einwr Stunde zu schaffen. (60-w1)
Das min darin ergibt sich aus der Logik der Aufgabe, denn er braucht ja nur 10-40 min, spricht eine Dauer von zum Beispiel 50 Minuten wird nicht eintreten und außerdem ist die Verteilungskfunktion auch so, dass alles über dieser Grenze den Wert 1 hat. Spricht also alle Werte ab 40, hier also 40-60 nehmen den Wert 1 an.
Um diese Werte einfach zu verhindern, wird die min Funktion benutzt.
Also wenn er für die erste Waschmaschine 10-20 Minuten braucht, wird automatisch die 40 genommen und alles darüber wird die 60-w1 gewählt.

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 00:40
7formell
ok danke - ist mir so noch nie untergekommen - aber macht Sinn.
Wie kommt man jetzt zur nächsten Zeile?:
[latex]\frac{1}{900} \int_{10}^{20} (40-10) dw_1 + \int_{20}^{40} (60-w_1-10) dw_2[/latex]

Kann diesen Schritt leider auch nicht nachvollziehen …

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 08:13
Anonymer User
Woher hast du die Lösung? Bei uns wurde nichts besprochen…

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 09:02
7formell
aus der Übung … Do 16-18, kenn leider den Namen des Übungsleiters nicht, aufjedenfall war bei uns immer zuerst der Übungsleiter, dann Herr Kremer. Was habt ihr für eine Lösung erhalten ?

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 09:21
Anonymer User
Wenn w_1 zwischen 10 und 20 liegt, dann ist das 2. Integral (das natürlich bei 10 starten muss) gleich 40-10, ansonsten 60-w_1-10. (Der Faktor 1/900 muss aber natürlich ausgeklammert sein, also für beide Integrale gelten.)

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 09:39
7formell
Wieso betrachten wir den das erste Integral plötzlich von 10-20 ? Wieso ist das zweite Integral gleich 40-10 ? das zweite Integral geht doch jetzt von 20 bis 40 ? Wo ist die min-funktion hin ?

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 18:13
Anonymer User
ok: Ich habe micht mit 1. und 2. Integral auf das Doppelintegral bezogen, nicht auf die Summe. Im nachfolgenden spreche ich jetzt lieber unmissverständlicher vom äußeren und inneren Integral.

Das äußere Integral bezieht sich auf w_1. Wir betrachten nun 2 Fälle in Abhängigkeit vom Wert von w_1:

1. Fall: 10< w_1<= 20. Dann ist min(40,60-w_1)=40, d.h. beim inneren Integral wird die Konstante 1 von 10 bis 40 integriert, was 40-10=30 ergibt.

2. Fall: 20<w_1<=40: Dann ist min(40,60-w_1)=60-w1, d.h. beim inneren Integral wird die Konstante 1 von 10 bis 60-w1 integriert, was 60-w1-10=50-w1 ergibt.

Der Beitrag vom 1. Fall steckt im 1. Integral, der vom 2. im 2. Integral.

Jetzt alles klar?

RE: STO Blatt 5 2010-06-03 19:13
7formell
ah - da ist die Konstante 1 über die wir integrieren und dann betrachten wir beide Fälle, ich glaub ich versteh nun ! Danke sehr !

RE: STO Blatt 5 2010-06-04 08:52
Anonymer User
Ja, um Wahrscheinlichkeiten zu erhalten müssen wir ja die Dichte integrieren. Da Gleichverteilungen angenommen waren, sind die Dichten Indikatorfunktionen auf gewissen Mengen multipliziert mit einem festen Faktor (hier 1/30), damit die Dichte über ganz R zu 1 aufintegriert. Die Faktoren 1/30 wurden jeweils vor das Doppelintegral gezogen, bleiben also nur noch die Indikatorfunktionen, die auf dem Integrationsbereich 1 sind.

Mir ist gerade noch aufgefallen, dass die Formeln in Deinem ersten Beitrag einige Fehler enthalten, die vielleicht zur Verwirrung beigetragen haben.

Die 1. Formel ist nicht die Übergangsdichte f_2^1, sondern bereits die gemeinsame Dichte f(w_1,w_2), und das im Fall a) der Unabhängigkeit.

Die zweite Formel mit dem Doppelintegral gilt im Prinzip in a) und b) und ergibt sich daraus, dass die erste Reparaturzeit gleichverteilt auf (10,30) ist, also mit Dichte f_1(w_1)=(1/30) *1_{(10,30)}(w_1)

Beim letzten Doppelintegral darf kein * stehen, da es sich um ein Doppelintegral (zwei ineinander geschchtelte Integral) nicht um ein produkt von Integralen handelt, und der Integrand muss 1 sein.

RE: STO Blatt 5 2010-06-07 11:09
7formell
Die 1. Formel ist nicht die Übergangsdichte f_2^1, sondern bereits die gemeinsame Dichte f(w_1,w_2), und das im Fall a) der Unabhängigkeit.

Was ist den da nochmal der Unterschied ?

RE: STO Blatt 5 2010-06-07 15:35
Anonymer User
s. Hübner, Def 4.1 (in der 4. Aufl.)

f_2^1 (w_1;*) ist die (bedingte) Dichte, die das 2. Zufallsexperiment beschreibt, wenn man weiß, dass beim 1. Experiment w_1 herausgekommen ist. Hier also die Dichte für die 2. Reparaturzeit, wenn man weiß, dass er für die 1. machine w_1 Minuten benötigt hat.

f(*,*) gibt die gemeinsame Dichte an, die den gesamtausgang beider Zufallsexperimente beschreibt. hier also: Die gemeinsame (zweidimensionale) Dichte beider Reparaturzeiten.

Es gilt: f(w_1,w_2)= f_2^1 (w_1;w_2) * f_1(w_1),
wobei f_1 die Dichte für das 1. Zufallsexperiment (also für die 1. Reparaturzeit) bezeichnet.