Darf man bei 5.5 von einem Graphen ohne Schleifen und Mehrfachkanten ausgehen?

nm, hat sich erledigt.

nm, hat sich erledigt.

Tja, das kann man tatsächlich nur dem Hinweis und der Vorlesung entnehmen. In der Vorlesung wurde von Multigraphen gesprochen, wenn es mehr als nur eine Kante zwischen zwei Knoten gibt, die in die gleiche Richtung führen und vielleicht Schleifen gibt!
Im gedruckten Teil zweite Folie von Kapitel 6.

Ich habe auch noch eine Frage zur Induktion in 1a. Vermutlich ist das wieder so trivial, dass ich mich danach ärger überhaupt gefragt zu haben, gibt ja auch nur 3 Punkte..
Naja ich hab mir das so vorgestellt: Man geht von einem Knoten aus, da gibts keine Kante klar Bedingung erfüllt es gibt maximal 0,25 Kanten, nämlich um genau zu sein 0.
Nur der Schritt ist jetzt die Frage, wenn ich nen Graphen habe in dem die Bedingung gilt, und ich jetzt nen Knoten dazutue, verändert sich die Zahl der Kanten, die ich maximal hinzufügen darf je nachdem wieviele Kanten bereits vorher vorhanden waren. Und das nicht immer eindeutig, wie kann man also nun sinnvoll etwas über die maximal mögliche Kantenzahl aussagen? In der Induktionsannahme einen Graphen vorrauszusetzen, der bereits die maximal mögliche Zahl an Kanten hat, macht ja keinen Sinn, da man dann z.b. einen Graphen, der nur aus einem Kreis mit 5 Knoten besteht, nicht mit im Beweis mit drin hat, für den die Behauptung aber sehr wohl gilt.
Eine andere Idee war noch Variablen Eneu und Ealt für die neu hinzugefügten, und die alten Kanten, zu verwenden und dann zu zeigen, dass der Extrempunkt der Funktion Ealt+Eneu <= m^2 ist. aber dafür müsste man erstmal Eneu und Ealt bestimmen können, wenigstens abhängig voneinander. Ich bin wirklich überfragt, nicht dass ich die 3 Punkte brauchen würde aber mich lässt es echt nich los, dass ich diese Induktion nich packe….

Vielleicht ist mein Ansatz ja auch Murks, aber über die Knotenzahl zu induzieren erschien mir am sinnvollsten, wenn man m nehmen würde, hätte man ja nur Graphen mit geraden/ungeraden Knotenzahlen, je nach Induktionsanfang… Kantenzahl macht irgendwie auch keinen Sinn…

Bin für jeden Hinweis dankbar!

Gruß

Nur der Schritt ist jetzt die Frage, wenn ich nen Graphen habe in dem die Bedingung gilt, und ich jetzt nen Knoten dazutue, verändert sich die Zahl der Kanten, die ich maximal hinzufügen darf je nachdem wieviele Kanten bereits vorher vorhanden waren. Und das nicht immer eindeutig, wie kann man also nun sinnvoll etwas über die maximal mögliche Kantenzahl aussagen?

Ich hab mir das so überlegt: Ein vollständiger, bipartiter Graph hat eine maximale Kantenzahl wenn keine Kreise der Länge 3 erlaubt sind. Denn: Wenn man noch eine Kante hinzufügt kann die nur von einem Knoten auf der Seite A zu einem anderen auf der Seite A gehen. Über einen Knoten auf Seite B kann man jetzt aber einen Kreis der Länge 3 bilden. Somit muss der vollständige bipartite Graph maximale Kantenzahl haben.
Darüber ließe sich induzieren (denn man kann sich überlegen wie viele Kanten dazukommen, wenn man zwei Knoten hinzufügt)…
Oder was sagt Ihr?

Hey…

@Anon: Zunächst beachtest du gar nicht, dass |V| = 2m sein soll! Dein Induktionsanfang macht also
schon keinen Sinn und dein Schritt aus gleichem Grund auch nicht!

Den Schritt würde ich dann anders machen und zwar so, wie man das auch bei "Formeln" immer macht.
Wenn du z.B. wirklich eine Induktion über die Anzahl der Knoten |V| = n führen würdest (für etwas
anderes vielleicht), dann kann man im Schnitt von einem Graphen mit |V| = n + 1 Knoten ausgehen
und versuchen, *den* so umzuwandeln, dass ein Graph mit |V'| = n Knoten herauskommt auf den die
Induktionsannahme angewandt werden kann. Dann kann man sich überlegen, was bei dieser Um-
wandlung alles gelöscht worden sein kann und gelangt so (hoffentlich) zu der gewünschten Formel.

Das ist meist einfacher, als sich zu überlegen welche Fälle beim "Hinzufügen" auftreten können.
(Man müsste dann nämlich eigentlich auch beweisen, dass man mit diesen Fällen alles abdeckt!)

Die Musterlösung zu Aufgabe 4.1 ist ein Beispiel zu diesem Vorgehen.

Letzte Anmerkung: Du benutzt nirgends, dass keine Kreise der Länge 3 auftreten dürfen, was
stutzig machen darf, da man das brauchen wird. (Man kann leicht ein Gegenbeispiel konstruieren,
das zeigt, dass die Formel für Graphen, bei denen Kreise der Länge 3 erlaubt sind, im Allgemeinen
nicht gilt (man nehme einen vollständigen Graphen auf 10 Knoten z.B.).)

Hoffe es hilft!
Frank :)

Hey…

und noch etwas an rhobit:

Warum müssen/sollen denn vollständige bipartite Graphen vorliegen?

Die zu beweisende Aussage ist ja allgemeiner, oder?

Frank :)

Hey…

und noch etwas an rhobit:

Warum müssen/sollen denn vollständige bipartite Graphen vorliegen?

Die zu beweisende Aussage ist ja allgemeiner, oder?

Frank :)

Moin,

stimmt, aber bei den vbG handelt es sich um den schlimmsten Fall, und wenn es bei diesem gilt dann auch bei einfacheren. Denn ein vbG mit 2*n Knoten hat n^2 Kanten, also können andere nur weniger haben. Und dass er nicht mehr Kanten haben kann habe ich oben überlegt. Ich find es gut. ;-)

Denn ein vbG mit 2*n Knoten hat n^2 Kanten, also können andere nur weniger haben.


Beweis?
Du scheinst da (insb. bei dem "also…") die Aussage, die du beweisen sollst, schon zu
benutzen!
Wenn du obiges beweisen willst, dann müsstest du "andere" erstmal noch konkreter
fassen. "Andere" was? Andere bipartite Graphen? Andere Graphen allgemein? etc.

Ausserdem stimmt es nicht (so allgemein), dass ein vbG mit 2*n Knoten n^2 Kanten hat!
Das hängt ja davon ab, wie die Knoten in die Partitionen verteilt sind!

Frank :)

Das mit dem m finde ich auch etwas undeutlich muss ich sagen, da an keiner Stelle erwähnt ist, aus welchem Zahlenraum m kommt. Worauf ich hinaus will ist, ob m auch z.b. 1,5 sein kann, sprich die Aussage nur für Graphen mit gerader Knotenmenge formuliert ist oder nicht. Ein Maximum von z.b. 6,25 Kanten könnte es ja durchaus geben, auch wenn es nur 6 oder 7 Kanten in dem Bereich um das Maximum gibt.
Deinen Ausführungen nach zu schließen scheint es sich hier aber um einen Wert aus den natürlichen Zahlen zu handeln, oder sehe ich das falsch?
Ich hatte das m nur so interpretiert, dass es anzeigen sollte, dass die Kantenzahl kleiner gleich der halben Knotenzahl im Quadrat sein soll und ansonsten keinerlei Bewandnis hat.
Sollte die Aussage allerdings sich nur auf die Graphen mit gerader Knotenzahl beziehen ist das wieder etwas völlig anderes.
Allerdings bin ich jetzt nach dieser Aussage, dass die Induktion nicht im richtigen Induktionsstil (sprich beim minimal möglichen anfangen und im Schritt eins hinzufügen) durchführbar ist, sehr viel ratloser als vorher.
Kannst du das "bei Formeln" etwas weiter erläutern? So sagt mir das rein überhaupt nichts.

Die abwesenheit eines 3er Kreises hatte ich so eingeplant, dass das Hinzufügen bestimmter Kanten nicht mehr möglich ist, aber diese Methode scheint ja so oder so generell falsch zu sein bei solchen Problemen….

@rhobit:
Wenn du im Graphen weniger als maximal viele Kanten hast kannst du u.U. ja auch mehr Kanten hinzufügen ohne das 3er Kreis Kriterium zu verletzen, und ob dann bei jeder erdenklichen Kombination immernoch |E|<=m² gilt… das zeigst du damit nicht.

Ich habe es so verstanden, dass m aus N ist, also nur Graphen mit gerader Knotenmenge betrachtet werden.

quote
Denn ein vbG mit 2*n Knoten hat n^2 Kanten, also können andere nur weniger haben.
quote

Beweis?
Du scheinst da (insb. bei dem "also…") die Aussage, die du beweisen sollst, schon zu
benutzen!
Wenn du obiges beweisen willst, dann müsstest du "andere" erstmal noch konkreter
fassen. "Andere" was? Andere bipartite Graphen? Andere Graphen allgemein? etc.

Kann ich bei der Induktion nicht die Annahme verwenden? Und da ein vbG mit 2*n Knoten bei Gleichverteilung n^2 Kanten hat kann ich doch darüber induzieren?! Die Überlegung dazu im Volltext habe ich so formuliert:

"Überlegung vorab:
Ein ungerichteter Graph ohne Kreis der Länge 3 und 2*n Knoten hat eine maximale Kantenzahl n^2, wenn er ein (vbG := vollständiger, bipartiter Graph) mit je n Knoten pro Seite
ist.
Beweis: Man füge eine zusätzliche Kante hinzu. Diese muss auf der selben Seite
von einem Knoten (= v1) zu einem anderen (= v2) gehen, da zu jedem Knoten
auf der anderen Seite eine Kante existiert. Jetzt kann man von v1 zu v2 zu
einem Knoten auf der anderen Seite zurück zu v1 gehen, weil es sich um einen
vbG handelt. Jetzt hat man aber einen Kreis der Länge drei. Es kann also keine
weiteren Kanten geben und der vbG ist maximal."



Ausserdem stimmt es nicht (so allgemein), dass ein vbG mit 2*n Knoten n^2 Kanten hat!
Das hängt ja davon ab, wie die Knoten in die Partitionen verteilt sind!


Stimmt, aber bei ungleicher Verteilung werden es weniger Kanten. 2 zu 2: Max. vier Kanten. 3 zu 1: Max. drei Kanten…

Das sollte doch (mit anschließender Induktion) für ein paar Pünktchen reichen.

:-)

Also, meine Lösung sieht vor, das ich davon ausgehe, bei hinzufüen der Knoten die maximal mögliche menge der dazugehörigen Kanten hinzufüge.
Beispiel:

Ich habe 4 Knoten (keinen drei-Kreis hat, aber ansonsten maximal ist). Wenn ich jetzt zwei Knoten hinzufüge, kann ich für jeden Knoten den ich hinzufüge jeweils zwei Kanten hinzufügen. (wenn ich pro Knoten eine Kante mehr nehme, entsteht ein 3-Kreis).
Zusätzlich kann ich noch die neuhinzugefügten Knoten verbinden. (Sprich Anzahl der Kanten nochmal +1)

@bash: Das würde sicherlich auf eine hübsche Formel für die Kantenzahl bei m+1 führen, aber wie kannst du zeigen, dass du damit alle möglichen Graphen abdeckst? Wenn die Knoten vorher weniger Kanten hatten, kann man ja mehr Kanten hinzufügen.
z.B. du hast 10 Knoten ohne jegliche Kante, nun kannst du bei 2 neuen Knoten ja 2*10 Kanten einfügen vom Knoten zu jedem ursprünglichen. Die Verbindung der neuen Knoten haut dann auch nicht mehr hin. Diesen neuen Graphen mit 12 Knoten hast du in deiner Induktion mit nur maximalen Kantenzahl nicht drin, der erfüllt aber die Bedingung und für den müsste es auch nachgeweisen werden.
So kann es also wohl leider nicht gehen….

Gruß

Wie wäre es mit einer Induktion über die Kantenanzahl?
Man müsste zeigen, dass man von einem ungerichteten Graphen ohne Kreise der Länge 3 durch Hinzufügen einer Kante (ohne dass dabei ein Kreis der Länge 3 entsteht)immer einen Graphen erhält, für den die Gleichung auch gilt.
Es wäre zu unterscheiden, ob die Kante zwischen zwei schon vorhandenen Knoten eingefügt wird
oder zwischen einem schon vorhandenen und einem gleichzeitig eingefügten neuen Knoten.-
Weiss selber noch nicht recht, ob das eine fruchtbare Idee ist, ich stells mal zur Diskussion….

Kurze Zwischenfrage:

Bei 5.4 b) steht "Schreiben sie einen Algorithmus"
Ist das gemeint was da steht oder sollte das "Algorithmus in Pseudocode" lauten? Wenn nicht kann ich mir ja scheinbar meine Sprache frei wählen. Brainfuck. -_o

@bash: Das würde sicherlich auf eine hübsche Formel für die Kantenzahl bei m+1 führen, aber wie kannst du zeigen, dass du damit alle möglichen Graphen abdeckst? Wenn die Knoten vorher weniger Kanten hatten, kann man ja mehr Kanten hinzufügen.

Och, das ist einfach, da ich in der letzten Übungsgruppe gelernt habe, dass ich einfach annehme, verhält sich mein Graph wie gewünscht.
Nein, ernsthaft, ich gehe obdA davon aus, das der Graph maximal ist. Ich meine, wenn ich 10 Knoten habe mit exakt null kanten und dann einfach stumpf 20 Kanten reinballer, ist die Aussage immer noch gültig.
Ich machs mir einfach, ich betrachte NUR die Fälle, wo der Graph die maximal mögliche Kantenanztahl hat. alle anderen müssen ja kleiner sein. Is schon nett, wenn man von solchen Strukturen ausgehen kann.

alle anderen müssen ja kleiner sein. Is schon nett, wenn man von solchen Strukturen ausgehen kann.

Wie kommst du darauf, dass alle anderen kleiner sein müssen? Bzw. wieso kannst du von solchen Strukturen ausgehen? Es kann doch theoretisch einen Fall geben in dem genau so viele Kanten fehlen, dass man zusammen mit den neu eingefügten mehr Kanten hat, als in dem Fall, dass man vorher schon maximal viele hatte und dann maximal möglich viele einfügt. Ohne das zu beweisen, bzw. zu widerlegen, dass ein solcher Fall nicht existieren kann, bringt die ganze Induktion meiner Meinung nach dann nicht viel.

Gruß

alle anderen müssen ja kleiner sein. Is schon nett, wenn man von solchen Strukturen ausgehen kann.

Wie kommst du darauf, dass alle anderen kleiner sein müssen? Bzw. wieso kannst du von solchen Strukturen ausgehen? Es kann doch theoretisch einen Fall geben in dem genau so viele Kanten fehlen, dass man zusammen mit den neu eingefügten mehr Kanten hat, als in dem Fall, dass man vorher schon maximal viele hatte und dann maximal möglich viele einfügt. Ohne das zu beweisen, bzw. zu widerlegen, dass ein solcher Fall nicht existieren kann, bringt die ganze Induktion meiner Meinung nach dann nicht viel.

Gruß

Naja, ich gehe im Induktionsschluss davon aus, das meine Aussage für alle Vorgänger gilt. Das darf ich.
Ich sage also, ich füge soviele Kanten hinzu, das mein Graph maximal unter der Bedingung ist.
Das Bedeutet, ich kann maximal zu jedem zweiten Knoten einen  Verbindung herstellen. Also habe ich m neue Kanten pro Knoten udn da ich zwei Knoten habe mal 2 (die Plus 1 ignorieren wir mal)
Also habe ich m^2 + 2m kanten.
Deine Lsg sieht vor: Ich habe 0 Kanten, füge 4m Kanten hinzu. Was ist kleiner?

Kurze Zwischenfrage:

Bei 5.4 b) steht "Schreiben sie einen Algorithmus"
Ist das gemeint was da steht oder sollte das "Algorithmus in Pseudocode" lauten? Wenn nicht kann ich mir ja scheinbar meine Sprache frei wählen. Brainfuck. -_o

Gemeint/gewünscht ist wohl Pseudocode, allerdings bin ich recht schnell an die Grenzen der Beschreibungsfähigkeit gestoßen und habe dann etwas unschön mit sprachlichen Beschreibungen innerhalb des Codes hantiert. :/

Kurze Zwischenfrage:

Bei 5.4 b) steht "Schreiben sie einen Algorithmus"
Ist das gemeint was da steht oder sollte das "Algorithmus in Pseudocode" lauten? Wenn nicht kann ich mir ja scheinbar meine Sprache frei wählen. Brainfuck. -_o

Gemeint/gewünscht ist wohl Pseudocode, allerdings bin ich recht schnell an die Grenzen der Beschreibungsfähigkeit gestoßen und habe dann etwas unschön mit sprachlichen Beschreibungen innerhalb des Codes hantiert. :/

Wenn der umgangssprachliche Zusatz (wie Kommentare ja auch) erklärend und zielführend ist, sollte das ok sein.

Ja, Pseudocode reicht sicherlich immer da, wo nichts Anderes verlangt wurde.
Und: wer mag denn schon Turing-/Registermaschinenprogramme überprüfen, oder gar schreiben?

Das mit dem m finde ich auch etwas undeutlich muss ich sagen, da an keiner Stelle erwähnt ist, aus welchem Zahlenraum m kommt. Worauf ich hinaus will ist, ob m auch z.b. 1,5 sein kann, sprich die Aussage nur für Graphen mit gerader Knotenmenge formuliert ist oder nicht. Ein Maximum von z.b. 6,25 Kanten könnte es ja durchaus geben, auch wenn es nur 6 oder 7 Kanten in dem Bereich um das Maximum gibt.
Deinen Ausführungen nach zu schließen scheint es sich hier aber um einen Wert aus den natürlichen Zahlen zu handeln, oder sehe ich das falsch?
Ich hatte das m nur so interpretiert, dass es anzeigen sollte, dass die Kantenzahl kleiner gleich der halben Knotenzahl im Quadrat sein soll und ansonsten keinerlei Bewandnis hat.
Sollte die Aussage allerdings sich nur auf die Graphen mit gerader Knotenzahl beziehen ist das wieder etwas völlig anderes.
Allerdings bin ich jetzt nach dieser Aussage, dass die Induktion nicht im richtigen Induktionsstil (sprich beim minimal möglichen anfangen und im Schritt eins hinzufügen) durchführbar ist, sehr viel ratloser als vorher.
Kannst du das "bei Formeln" etwas weiter erläutern? So sagt mir das rein überhaupt nichts.

Die abwesenheit eines 3er Kreises hatte ich so eingeplant, dass das Hinzufügen bestimmter Kanten nicht mehr möglich ist, aber diese Methode scheint ja so oder so generell falsch zu sein bei solchen Problemen….

@rhobit:
Wenn du im Graphen weniger als maximal viele Kanten hast kannst du u.U. ja auch mehr Kanten hinzufügen ohne das 3er Kreis Kriterium zu verletzen, und ob dann bei jeder erdenklichen Kombination immernoch |E|<=m² gilt… das zeigst du damit nicht.

Was bitte sollen denn 6,25 Kanten sein? Entweder es gibt eine Kante zwischen zwei Knoten, oder eben nicht. Dazwischen gibt's nix! Multiple Kanten und Schleifen gibt es nicht, halbe Kanten, die zwar wegführen aber nirgendwo ankommen, ebenfalls nicht!
In vielen Fällen mit Graphen ist m die Abkürzung für |E| und n = |V|, also immer natürliche Zahlen.
Im Zitierten geht ja einiges ganz schön konfus zu.

Kann mir jemand sagen, ob es sich lohnt, meinen oben skizzierten Ansatz weiter zu verfolgen?
Bisher komme ich weder damit noch auf anderen Wegen weiter.

Vermutlich übersehe ich etwas Simples und verlasse den nächsten Übungstermin fassungslos ob meiner Ignoranz.

Kann mir jemand sagen, ob es sich lohnt, meinen oben skizzierten Ansatz weiter zu verfolgen?
Bisher komme ich weder damit noch auf anderen Wegen weiter.

Vermutlich übersehe ich etwas Simples und verlasse den nächsten Übungstermin fassungslos ob meiner Ignoranz.

Die Idee

Wie wäre es mit einer Induktion über die Kantenanzahl?
Man müsste zeigen, dass man von einem ungerichteten Graphen ohne Kreise der Länge 3 durch Hinzufügen einer Kante (ohne dass dabei ein Kreis der Länge 3 entsteht)immer einen Graphen erhält, für den die Gleichung auch gilt.
[…]

ist schon mal nicht schlecht.
Maximal wie viele Kanten weniger hat z.B. ein ungerichteter bipartiter Graph G ohne Kreise der Länge 3, wenn man in ihm zwei über eine Kante  verbundenen Knoten samt alle daran hängenden Kanten! löscht?
Induktionsanfang: keine Kante bzw. nur eine Kante nicht vergessen, dann Ind. Annahme formulieren und dann Ind.Schritt von |E|=m auf m+1….

hilft's?

Könnten nicht beide gelöschten Knoten mit jeweils einer beliebigen Anzahl anderer Knoten verbunden gewesen sein, die jeweils Grad 1 hatten (also ausschliesslich mit einem der gelöschten verbunden waren)?. In diesem Fall würden alle Kanten gelöscht.

Ist zwar nun passé, aber ich war nach Abgabe der Bearbeitung mit 5.2 irgendwie nicht einverstanden. Etwas später kam dann bei mir folgende Frage auf:
Laut Cormen kann der BFM-Algorithmus nur dann einen kürzesten Weg finden, wenn kein negativer Zyklus vorliegt. Graph G5.2 hat aber einen negativen Zyklus (a->b->c->f->e->a), somit kann auch kein Ergebnis im Sinne der Aufgabenstellung bestimmt werden. Wäre das also die richtige Antwort gewesen?

Ich hab das so verstanden, es war ja die frage nach einem kürzesten weg. Deswegen kann man das ja schonmal beantworten, außerdem ist der Teil für den negativen Zyklus beim Algorithmus im Skript ja nach dem Teil für den kürzesten Weg. Habs aber der vollständigkeit halber auch erwähnt.

Ist es denn erlaubt, einzelne Prozesse aus einem Algorithmus auszublenden? Cormen ist ja hinsichtlich des Verhaltens bei Vorliegen von negativen Zyklen eindeutig:

The BF algorithm solves the single-source shortest-paths problem in the general case in which edge weights may be negative [and] returns a boolean value indication whether or not there is a negative-weight cycle that is reachable from the source. If there is such a cycle, the algorithm indicates that no solution exists.

Deshalb frage ich mich, ob streng nach Aufgabenstellung ("ausschließlich mit dem BFM") überhaupt ein kürzester Weg bestimmt werden dürfte.

Könnten nicht beide gelöschten Knoten mit jeweils einer beliebigen Anzahl anderer Knoten verbunden gewesen sein, die jeweils Grad 1 hatten (also ausschliesslich mit einem der gelöschten verbunden waren)?. In diesem Fall würden alle Kanten gelöscht.

Ja, aber wie viele sind das maximal?

Ist zwar nun passé, aber ich war nach Abgabe der Bearbeitung mit 5.2 irgendwie nicht einverstanden. Etwas später kam dann bei mir folgende Frage auf:
Laut Cormen kann der BFM-Algorithmus nur dann einen kürzesten Weg finden, wenn kein negativer Zyklus vorliegt. Graph G5.2 hat aber einen negativen Zyklus (a->b->c->f->e->a), somit kann auch kein Ergebnis im Sinne der Aufgabenstellung bestimmt werden. Wäre das also die richtige Antwort gewesen?

Ja, da stand ja, bestimmen Sie mit dem BFM-Alg einen kürzesten Weg". Wenn der Alg dann sagt: "geht nicht, weil negativer Kreis", dann wurde der Alg. korrekt angewendet. Dass Jede/r solches kann sollte ja gezeigt werden…"

Ist es denn erlaubt, einzelne Prozesse aus einem Algorithmus auszublenden? Cormen ist ja hinsichtlich des Verhaltens bei Vorliegen von negativen Zyklen eindeutig:

The BF algorithm solves the single-source shortest-paths problem in the general case in which edge weights may be negative [and] returns a boolean value indication whether or not there is a negative-weight cycle that is reachable from the source. If there is such a cycle, the algorithm indicates that no solution exists.

Deshalb frage ich mich, ob streng nach Aufgabenstellung ("ausschließlich mit dem BFM") überhaupt ein kürzester Weg bestimmt werden dürfte.

Wie soll man denn das formulieren, dass zur Aufgabenlösung kein irgendwie gearteter anderer Algorithmus hervorgeholt werden soll?