Hallo,
ich versuche mich an der vierten Aufgabe der letzten STO Klausur doch ich komme nicht wirklich dahinter. Ich nehme an, dass es letzten Endes mit Hilfer der Poisson-Verteilung berechnet werden soll. Für die Modellierung der Situation würde ich für die Bedingung "mindestens 40" die Binomialverteilung und für "höchstens 50" die negative Binomialverteilung wählen. Da diese Verteilungen bei dem gegebenen Experiment sehr groß werden muss man sich der Poisson-Verteilung bedienen. Mit fehlt hier der nächste Schritt…

mh bin mir auch nicht sicher, wär gut, wenn jemand nochmal drüber schaut.
Aber da es eine Binomialverteilung ist können wir doch die Summe über die gesuchte Menge bilden?
Also:
[latex]\sum_{i=40}^{50} {100 \choose i} 0,4^i * (1-0,4)^{100-i}[/latex]
Da wir hier aber schätzen sollen, reicht ja eigentlich die Normal-Approximation:
[latex] F(x) \approx \Phi (\frac{x-a}{\sigma})[/latex]
Mit a := np (Mittelwert) und [latex]\Phi := \sqrt{np(1-p)}[/latex]  (Streuung)
Eingesetzt:
[latex] F(49,5) - F(40,5) \approx \Phi (\frac{49,5-40}{2*\sqrt {6}}) - \Phi (\frac{40,5-40}{2*\sqrt{6}}) \approx \Phi(1,94) - \Phi(0,10) \approx 0,97381 - 0,53983 \approx 0,441[/latex]

Habe die Summe der Binomialverteilung mal in Derive eingegeben, da bekomm ich folgendes:
[latex]\sum_{i=40}^{50} {100 \choose i} 0,4^i * (1-0,4)^{100-i} \approx 0,52[/latex]

Ist die Abweichung wirklich so groß ?

dom

MMhhh ich dachte eigentlich mann muss hier irgendwie auf die Poisson Verteilung zurückgreifen…

man kann sicher auch mit der Poisson-Verteilung sich nähern, allerdings ist die Wahrscheinlichkeit pro Versuch nicht so klein, daher würd ich es jetzt nicht mit Poisson machen? Laut Wikipedia und der Lösung der Probleklausur nimmt man die Possion-Verteilung nur bei kleinen Wahrscheinlichkeiten.

Würde aber sagen, bei der Poisson-Verteilung wird man auch die Summe bilden müßen:
[latex]P_{\lambda}(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}[/latex]
Könnte dann vllt. so aussehen:
[latex]\sum^{50}_{k=40} P_{100*0,4}(X = k) = \sum^{50}_{k=40} \frac{40^k}{k!}e^{-40} \approx 0,5210[/latex]

Habe es jetzt mit Derive ausgerechnet … die Näherung passt echt gut, allerdings ist es ohne Derive viel arbeit das auszurechnen.
Ist jetzt, wenn man in der Klausur sitzt, Poisson wirklich bessere Wahl?

Danke erstmal. Aber die Frage ist berechtigt. Wir hatten jedoch auch keine Tabelle für die Normalverteilung.

hm, seltsam. ich bekomme mit der poisson verteilung, wenn ichs per hand rechne 0,4654 raus. vielleicht habe ich mich verrechnet. andererseits sollte hier die poisson verteilung nicht gut gehen, weils doch recht große werte für p sind.

wäre auf jeden fall mal wichtig zu erfahren, ob hier die poisson approximation falsch wäre, auch wenn sie in dem fall gut funktionieren würde(mal vorausgesetzt ich habe mich verrechnet und die 0,521 stimmt), da es ja eindeutig nur für sehr kleine wahrscheinlichkeiten definiert ist! und falls sie doch richtig wäre, warum?

oh stimmt - habe mich wohl vertippt. Bekomme nun auch im Derive 0,468 raus. Trotzdem ist das Ergebnis jetzt ja nicht schlechter als die Normal-Approx.

Wäre aufjedenfall noch mal interessant ob man die nun benutzen darf.

mh bin mir auch nicht sicher, wär gut, wenn jemand nochmal drüber schaut.
Aber da es eine Binomialverteilung ist können wir doch die Summe über die gesuchte Menge bilden?
Also:

[latex] F(49,5) - F(40,5) \approx \Phi (\frac{49,5-40}{2*\sqrt {6}}) - \Phi (\frac{40,5-40}{2*\sqrt{6}}) \approx \Phi(1,94) - \Phi(0,10) \approx 0,97381 - 0,53983 \approx 0,441[/latex]

Habe die Summe der Binomialverteilung mal in Derive eingegeben, da bekomm ich folgendes:
[latex]\sum_{i=40}^{50} {100 \choose i} 0,4^i * (1-0,4)^{100-i} \approx 0,52[/latex]

Ist die Abweichung wirklich so groß ?


dom

Wenn du bei der Normalverteilung [latex]F(50)[/latex] und nicht [latex]F(49,5)[/latex] verwendest, bekommst du auch 0,52 heraus.
Es ist ja nach mindestens 40, und hoechstens 50 gefragt, ergo berechnest du ja [latex] P \lbrace 40 \leq X \leq 50 \rbrace = P \lbrace X \leq 50 \rbrace - P \lbrace X \leq 39,5 \rbrace [/latex].

In der Klausur ist bei solchen Aufgaben die Normalverteilung gemeint, ausser Herr Drees erwaehnt explizit dass Poission-Approximation gewuenscht ist(so hat er das bei der Besprechung der Probeklausur gesagt).

aber sollte man nicht immer halbzahlige Werte nehmen um bessere Ergebnisse zu bekommen?
Also 0,5 abziehen bzw. draufaddieren ?

aber sollte man nicht immer halbzahlige Werte nehmen um bessere Ergebnisse zu bekommen?
Also 0,5 abziehen bzw. draufaddieren ?

Du meinst die Stetigkeitskorrektur. Dies kann (muss man nicht, Herr Drees zieht auch keine Punkte ab meinte er bei der Besprechung der Probeklausur) machen, aber nur wenn es benoetigt wird.
Benoetigt wird dies meist, wenn du Ausdruecke wie [latex] P \lbrace X < 40 \rbrace [/latex] hast.
Um die Verteilungsfunktion verwenden zu koennen, benoetigt man einen Ausdruck  [latex] P \lbrace X \leq x\rbrace [/latex] . Wenn man eine diskrete Verteilung mit natuerlichen Zahlen hat, d.h. zwischen der 39 und der 40 ist kein Wert mehr definiert, kann man dann  [latex] P \lbrace X < 40\rbrace= P \lbrace X \leq 39 \rbrace [/latex] verwenden (denn zwischen 39 und 40 existiert keine natuerliche Zahl mehr).
Da man jetzt eine diskrete Verteilung durch eine stetige approximiert( also mit der Normalverteilung in unserem Fall), kann man jetzt alle moeglichen Werte zwischen 39 und 40 verwenden (da im stetigen Fall mit [latex]\mathbb R [/latex] ja zwsichen 39 und 40 unendlich viele Werte definiert sind).
Es hat sich heuristisch ergeben, dass die Mitte, also hier 39,5 eine gute Approximation ergibt.

Du brauchst diese Stetigkeitskorrektur aber immer nur verwenden, wenn du einen Fall
[latex] P \lbrace X < x \rbrace [/latex] auf den Fall [latex] P \lbrace X \leq x-1 \rbrace [/latex] bringen willst (um dann die Verteilungsfunktion zu verwenden).

Woher weiss man eigentlich wann man welche Verteilung zu wählen hat? Und gabs ein Beiblatt bei der Klausur in dem man die Formel aufgeschrieben hatte, oder muss man sich das merken?

Kann einer erklären wie das 2 * Sqrt 6  zustande kommt? Denke schon seit 30 Minuten drüber nach und komme mir langsam bisschen dumm vor, weil es ja eigentlich nicht so schwer sein kann.

Normal-Approximation:
[latex] F(x) \approx \Phi (\frac{x-a}{\sigma})[/latex]
Mit a := np (Mittelwert) und [latex]\sigma := \sqrt{np(1-p)}[/latex]  (Streuung)

Hier also:
[latex]\sigma := \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 * 0,4 (1-0,4)} = \sqrt{24} = 2* \sqrt{6} \approx 4,9[/latex]

ich danke dir! würde auch gern mit Aufgabe 6 helfen aber dazu bin ich zu blöd :)