Hi,
Auf dem Übungsblatt 9, Aufgabe 2 (iii) gibts folgende aufgabe:
Wie lassen sich für p element(0,1) die p-Auantile von aX+b aus denen von X berechnen? Wie verhalten sich die Interquartilabstände von X und aX+b zueinander?
(Im Anhang befindet sich das Übungsblatt)
Wie geht diese Aufgabe? Haben diese in der Übung leider nicht mehr geschafft zu rechnen. Habe auch keinen Ansatz :/
[latex] F_{aX+b}^\leftarrow(p) = inf \lbrace x | F_{aX+b}(x)\geq p\rbrace = … [/latex] (falls [latex]p \in (0,1][/latex] , (falls p = 0 gilt anstatt inf sup).
Nun musst du versuchen, den Mengenausdruck mit dem Infimum so umzurechnen, dass du auf eine andere Definition kommst.
Tipp: Du kannst konstante Faktoren aus einem Infimum herausholen. Also z.B. [latex] inf \lbrace a*x+b | x \geq 5 \rbrace = a* inf \lbrace x | x \geq 5 \rbrace + b [/latex]
äh ok … also ersteinmal:
Quantil ist die größte untere Schranke (inf) wo gilt:
[latex]F_{aX+b}(x)\geq p[/latex]
Formal also:
[latex] F_{aX+b} (p) = inf \lbrace x | F_{aX+b}(x)\geq p\rbrace[/latex]
Nach der Aufgabe 2 i) könnte man folgendes machen:
[latex]= inf \lbrace x | F(\frac{x-b}{a})\geq p\rbrace[/latex]
aber wie kann ich dort die konstanten rausholen? Wir haben jetzt ja keine konkrete Verteilungsfunktion F ?
Ersetze mal [latex] \frac{x-b}{a}[/latex] durch s.
Dann aendert sich auch das x vor dem Senkrechtstrich.
Ich seh noch nicht richtig, wo du hin möchtest:
[latex] inf \lbrace x | F_{aX+b}(x) \geq p \rbrace
= inf \lbrace x | F(\frac{x-b}{a}) \geq p \rbrace
= inf \lbrace a*s+b | F(s) \geq p \rbrace
= a * inf \lbrace s | F(s) \geq p \rbrace +b[/latex]
lassen sich damit schon die p-Quantile berechnen oO ?
[latex] a * inf \lbrace s | F(s)\geq p\rbrace +b= a * F^\leftarrow (p) + b [/latex]
und du bist fertig. Du hast das p-Quantil von [latex]a*X + b [/latex] auf das von [latex]X[/latex] zurueckgefuehrt.
Allerdings hast du die Aufgabe zunaechst nur fuer a > 0 geloest (fuer a < 0 ergibt sich ja eine andere Formel).
Fuer a < 0 geht die Aufgabe aber auch analog.