Moin moin,

versuche mich gerade an der 1. Aufgabe des 4. Präsenzübungsblattes, zu finden im Anhang (s.u.).

Soweit bin ich schonmal:

Anzahl der falsch einsortierten Bücher: n
Wahrscheinlichkeit von entdecken und richtig einsortieren: p

Habe jetzt eine Zufallsvariable X, die mir das Ergebnis des zufälligen ziehens zeigt:
P(X = 1) := "Wahrscheinlichkeit, dass das Buch entdeckt worden ist und richtig einsortiert wird"
P(X = 0) := "Wahrscheinlichkeit, dass das Buch nicht entdeckt worden ist und nicht richtig einsortiert wird"

Die Anzahl der entdeckten Bücher ist dann die Summe: X = X1+X2….+Xn

Ich suche jetzt also die Menge N - X, doch wie berechne ich N - X ? Mir fehlt da gerade der Ansatz.

ciao

anhang hat nicht geklappt, hier nochmal

Du hast vom Prinzip drei Zufallsvariablen:

N - Zufallsvariable die angibt, wieviele Buecher falsch einsortiert sind
E - Zufallsvariable die angibt, wieviele falsch einsortierten Buecher entdeckt worden sind
Z - Zufallsvariable die angibt, wieviele falsch einsortierten Buecher uebrig geblieben sind

Gesucht ist die Verteilung P{Z=k}  welche sich offensichtlich aus N und E berechnen laesst.

Nun, damit P{Z=k} gilt, muss N >= k sein und E = N - k gelten, denn wenn N Buecher falsch einsortiert sind, musst du N-k entdeckte davon abziehen, um auf k restlich falsch einsortierte Buecher zu kommen (denn du ziehst die entdeckten ja von N ab, also Z = N - E = N- (N-k) = k ).

Also suchen wir

P{Z=k} = P{ N>= k, E = N-k } = [latex]\sum \limits_{i=k}^\infty P \lbrace N=i, E=i-k \rbrace
=\sum \limits_{i=k}^\infty P \lbrace N=i \rbrace \dot P \lbrace E=i-k \rbrace [/latex]
(Produkt darfst du bilden da stochastische Unabhaengigkeit vorrausgesetzt wurde)


Jetzt musst du die Summe "nur" noch ausrechnen(Beachte die Taloyrreihen-Definition von [latex]e^x = \sum \limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}[/latex] )

Endergebnis: Poisson-verteilt mit Parameter (1-p)*[latex]\lambda[/latex]

so wirklich blick ich da noch nicht durch.

Was ist eig. genau der Unterschied zwischen einer konstanten n und einer Zufallsvariable N?
In der Aufgabe hät ich jetzt gesagt, dass sei eine konstante Anzahl N und du hast daraus eine Zufallsvariable N gemacht.

Zufallsvariablen definieren doch ein Ereignis, also hier:
N - Anzahl der falsch einsortierten Bücher

Kann man soeine Zufallsvariable auch als konstante sehen? Die Anzahl der falsch einsoritierten Bücher wird ja irgendwas zwischen 1…n sein.
Dann haben wir noch E und Z.

Bei Z hast du jetzt geschrieben, dass wir die Gesuchte Vertielung:
P{Z=k} suchen.
Hier geben wir der Zufallsvariable scheinbar eine konstante.
Z definiert also das Ereignis und k ist ein konstanter Wert.
Und wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall eintritt.

Du schreibst, Vorbedingung dafür ist:
N >= k und E = N - k
Kann man den soetwas "rechnen" ? Hier find ich es noch schwer zu verstehen, wie man den einen konstanten Wert k von einer Zufallsvariable N abzieht.
Definiert eine Zufallsvariable nicht nur das Ereignis, oder nimmt die Zufallsvariable auch gleichzeitig alle Werte an, die für das Ereignis möglich sind? Hät man nicht auch einfach eine konstante n nehmen können, die die Anzahl der falsch einsortieren Bücher repräsentiert? Ich sehe da keinen Unterschied…

Dann kann ich auch noch nicht nachvoll ziehen, wie du von:
P{N>=k, E=N-k} auf die Summenformel kommst. Wieso wird aus N>=k folgendes: N = i und aus E = N-k folgendes: E=i-k
die Ungleichung im erstenfall ist verschwunden? und hier ersetzt du das k zu einem i, im zweitenfall wird aus dem N ein i ?!

mfg

so wirklich blick ich da noch nicht durch.

Was ist eig. genau der Unterschied zwischen einer konstanten n und einer Zufallsvariable N?
In der Aufgabe hät ich jetzt gesagt, dass sei eine konstante Anzahl N und du hast daraus eine Zufallsvariable N gemacht.

Zufallsvariablen definieren doch ein Ereignis, also hier:
N - Anzahl der falsch einsortierten Bücher

Kann man soeine Zufallsvariable auch als konstante sehen?

Zufallsvariable sagt eigentlich schon aus, dass man sie nicht als Konstante sehen darf.
Die Zahl die die Zufallsvariable N annehmen kann ist ja gerade zufaellig, und daher auch nicht konstant.

Bei Z hast du jetzt geschrieben, dass wir die Gesuchte Vertielung:
P{Z=k} suchen.
Hier geben wir der Zufallsvariable scheinbar eine konstante.

Nein k ist keine Konstante, k ist auch variabel. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable Z den Wert k annimmt.

Du schreibst, Vorbedingung dafür ist:
N >= k und E = N - k
Kann man den soetwas "rechnen" ? Hier find ich es noch schwer zu verstehen, wie man den einen konstanten Wert k von einer Zufallsvariable N abzieht.

Ja, man kann mit Zufallsvariablen rechnen. Man darf nur nicht vergessen, was eine Zufallsvariable ist: Eine Abbildung von einem Universum [latex]\Omega[/latex] in eine andere Menge S.
Die Menge [latex] \lbrace N >= k \rbrace[/latex] entspricht der Menge [latex] \lbrace \omega \in \Omega | N(\omega) >= k \rbrace [/latex] und die Menge  [latex] \lbrace E = N-k \rbrace[/latex] entspricht der Menge [latex] \lbrace \omega \in \Omega | E(\omega) = N(\omega) - k \rbrace [/latex]

ok, ok … so langsam macht das glaub ich sinn.
Versuchen wir es mal durchzurechnen:
P{Z=k} = P{ N>= k, E = N-k } = [latex]\sum \limits_{i=k}^\infty P \lbrace N=i, E=i-k \rbrace
=\sum \limits_{i=k}^\infty P \lbrace N=i \rbrace \dot P \lbrace E=i-k \rbrace [/latex]
Wie die du auf die Summenformel kommst ist mir jetzt auch klar. Doch wieso können wir hier stochastische Unabhaengigkeit vorraussetzen? Sehe das leider nicht.

Nun wissen wir, dass N Poisson-Verteilt ist (Aufgabenstellung) und E ist Binomialverteilt (Buch ist ja entweder falsch oder richitg sortiert).
Also gehts nun weiter mit p =: "Wahrscheinlichkeit, dass ein Buch entdeckt wird"
[latex]\sum \limits_{i=k}^\infty P \lbrace N=i \rbrace * P \lbrace E=i-k \rbrace = \sum \limits_{i=k}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} * {i \choose k}(1-p)^k * p^{i-k}[/latex]

mh wie komm ich hier mit der Taloyrreihen-Definition weiter ? :/

[latex]\sum \limits_{i=k}^\infty P \lbrace N=i \rbrace * P \lbrace E=i-k \rbrace = \sum \limits_{i=k}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} * {i \choose k}(1-p)^k * p^{i-k}[/latex]

Kann ich hier jetzt einfach die Taloyrreihen-Definition einsetzen? ich ziehe das [latex] e^{-\lambda}[/latex] aus der Summe raus und ersetze den Bruch. Den Rest lass ich unverändert.

[latex]= e^{-\lambda} * e^{\lambda} * \sum \limits_{i=k}^\infty {i \choose k}(1-p)^k * p^{i-k} [/latex]

aber auch hier komm ich nicht weiter

Du darfst einen Teil des Bruchs nicht einfach durch [latex]e^\lambda[/latex] ersetzen und als Faktor herausziehen. Die komplette Summe muss der Taylorreihendefinition genuegen, nicht nur ein Faktor davon.


Tipp: Rechne den Binomialkoeffizienten mal aus. Dann kannst du ein wenig kuerzen und Faktoren aus der Summe herausziehen.
Am Schluss steht als Summe die Taylorreihendefinition einer e-Potenz dar.

danke habs rausbekommen. - echt übel diese umformung ;)