hiho,

kann es sein, dass such im Skript "Modellierung & Analyse paralleler und verteilter Systeme WiSe 2007/98" ein Fehler auf Seite 57 eingeschlichen hat?

Dort steht auf bei Aufgabe 2.24 a)

"Erläutern Sie das Lemma 2.23 anhand der Bilder 2.46a und 2.46b [auf Seite 55]."

Bilder 2.46 a und b stellen zwei F-erhaltende Abbildungen dar.

Oder habe ich vielleicht das Lemma falsch verstanden? Für mich bedeutet Lemma 2.23, wenn eine
Abbildung F-erhaltend ist, ist sie weder lokal abgeschlossen noch lokal offen.

gruß Inkarnat

Du hast tatsächlich das Lemma falsch verstanden.  Die Formulierung "der umgekehrte Schluss" ist nicht im Sinne einer Negation gemeint.  Gemeint ist, dass man daraus, dass \phi sowohl lokal geschlossen als auch lokal offen ist, die Eigenschaft A-erhaltend folgern kann, wenn \phi als F-erhaltend vorausgesetzt wird.

Hi Inkarnat,

das Lemma ist leichter in zwei Teilen zu lesen. Es gilt

a) Wenn \phi A-erhaltend ist, dann ist \phi lokal abgeschlossen und lokal offen.
b) Wenn \phi F-erhaltend, lokal abgeschlossen und lokal offen ist, dann ist \phi (sogar) A-erhaltend.

Jetzt kann man sich das Lemma an den Abbildungen (etwas) klar machen. (Wobei man auch die beiden darunter stehenden Abbildungen gut mitbenutzen kann…) Man sieht dann: Beide Abbildungen sind F-erhaltend. Die linke ist aber weder lokal abgeschlossen noch lokal offen und kann daher - da sie ja F-erhaltend ist - nicht A-erhaltend sein. Das Bild darunter zeigt genau dies. Die rechte Abbildung hingegen ist sowohl F-erhaltend als auch lokal abgeschlossen und lokal offen, sie sollte daher A-erhaltend sein (nach Teil b oben). Das Bild darunter zeigt wieder genau dies.

Andersherum kann man sieh auch die unteren Bilder ansehen, sehen, dass \phi rechts A-erhaltend ist und daraus folgern (mit a oben), dass \phi dann F-erhaltend, lokal abgeschlossen und lokal offen sein sollte. Das ist ja auch der Fall.

Ein bisschen schade ist ja, dass im ersten Beispiel \phi weder lokal abgeschlossen, noch lokal offen ist. Eine nette Übungsaufgabe wäre daher vielleicht zwei Netze N_1 und N_2 zu konstruieren und eine Abbildung \phi dazwischen derart, dass \phi F-erhaltend und lokal abgeschlossen, nicht aber lokal offen ist. Man überzeuge sich dann davon, dass \phi nicht A-erhaltend ist. (Gleiche Aufgabe dann damit, dass man ein \phi konstruiert, dass F-erhaltend und lokal offen, nicht aber lokal abgeschlossen ist.)

Der Sinn des Ganzen ist primär sich über lokal abgeschlossen/offen Gedanken zu machen (und über den Zusammenhang mit der A-Erhaltung). Das wird in der Motivation am Anfang des Unterkapitels klar: Transitionsberandete Mengen (= abgeschlossene) sollen auf solche abgebildet werden und ebenso Platzberandete (= offene).

Hoffe es hilft!

Frank :)

@Lehrkraft & Frank: Vielen Dank, für die schnelle Hilfe (besonders Frank für die ausführliche Erläuterung).

Hat mir sehr weitergeholfen!

gruß Inkarnat