Bei dieser Aufgabe komme ich nicht auf einen grünen Zweig:

Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeitsmaße [latex]Q[/latex] auf [latex](\mathbb{N}_0, 2^{\mathbb{N}_0})[/latex] , für die gilt:

[latex]Q(\{k + l\} \ | \ \{k, k + 1, \dots \}) = Q(\{l\}) \ \forall k, l \in \mathbb{N}_0[/latex]

Hinweis: Betrachten Sie zunächst [latex]Q(\{k + l, k + l + 1, \dots\} \ | \ \{k, k + 1, \dots\})[/latex].

Anmerkung: Interpretiert man Q als diskrete Lebenszeitverteilung, so bedeutet diese Eigenschaft gerade, dass die bedingte Restlebenszeitverteilung nicht von dem Alter abhängt. Solche Verteilungen werden gedächtnislos genannt.

Wikipedia verrät schon mal, dass es sich um die geometrische Verteilung handeln muss. Aber wie kommt man da von allein drauf und wie zeigt man, dass das die einzige Möglichkeit ist? Hat schon jemand einen Ansatz?

Das Aufgabenblatt habe ich mal angehängt, und Kapitel 1 unseres Kurzskripts, in dem die Definition der geometrischen Verteilung steht (Definition 1.11(ii)).

Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeitsmaße [latex]Q[/latex] auf [latex](\mathbb{N}_0, 2^{\mathbb{N}_0})[/latex] , für die gilt:

[latex]Q(\{k + l\} \ | \ \{k, k + 1, \dots \}) = Q(\{l\}) \ \forall k, l \in \mathbb{N}_0[/latex]

Schreibt man sich obige Gleichung mal für ein ganz bestimmtes k hin,
so sieht man sofort, wie sich alle Werte von Q aus einem einzigen
Parameter ergeben. Das sollte schonmal ein bisschen weiterhelfen.

Hm, nicht wirklich… wie das mit der Gedächtnislosigkeit gemeint ist ist mir, denke ich, klar. Also unter der Bedingung, dass das Ereignis [latex]\{k, k + 1, \dots \}[/latex] eintritt, ist das Eintreten von [latex]\{k + l\}[/latex] genau so wahrscheinlich wie [latex]\{l\}[/latex] ohne Vorbedingung. Bezogen auf diese Restlebenszeitgeschichte soll man damit ja modellieren können, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Restlebensdauer [latex]l[/latex], wenn bereits [latex]k[/latex] Zeiteinheiten vergangen sind, genau so groß ist wie die einer Gesamtlebensdauer [latex]l[/latex].

Die Frage ist, wie ich das Ereignis [latex]\{k, k + 1, \dots \}[/latex] interpretieren soll. Das ist ja die Bedingung, unter der [latex]\{k + l\}[/latex] gleich wahrscheinlich ist wie [latex]\{l\}[/latex]. Wenn ich das in die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit einsetze, dann habe ich plötzlich so ein [latex]Q(\{k, k + 1, \dots \})[/latex], das ich kennen soll. Also keine Einpunktmenge, sondern sogar eine unendlich große. Und woher bekomme ich die Wahrscheinlichkeit jetzt? Wie ist das Ereignis überhaupt im Modell gemeint, heißt es, dass das Objekt [latex]k[/latex] Zeiteinheiten oder älter sein soll?

Ich habe keinerlei Idee, wie ich von diesen selbstbezüglichen Anforderungen auf eine Funktion komme, die diese erfüllt (und beweise, dass meine Lösung eindeutig ist).

Beachte: wenn du die Wahrscheinlichkeit von [latex]\{k\}[/latex] kennst,
kennst du auch die Wahrscheinlichkeit von [latex]\mathbb{N}_0\setminus\{k\}[/latex].

Okay, schauen wir mal…

Beobachtung: [latex]\{ k + l \} \cap \{k, k + 1, \dots \} = \{ k + l \} \ \forall \ k, l \in \mathbb{N}_0[/latex]

Das bedeutet: [latex]Q(\{ l \}) = \frac{Q(\{ k + l \})}{Q(\{ k, k + 1, \dots \})} = \frac{Q(\{ k + l \})}{1 - Q(\{ 0, 1, \dots, k-1 \})} = \frac{Q(\{ k + l \})}{1 - \sum_{i=1}^{k-1} Q(\{ i \})}[/latex]
Sehe ich das soweit richtig?

So, und wo will ich hin? Irgendwann will ich da stehen haben, dass [latex]Q(\{ l \}) = (1 - p)^l \cdot p[/latex], wobei [latex]p \in [0, 1][/latex], oder irgendwie sowas in der Art. Denn das ist ja die Definition der geometrischen Verteilung.

Vielleicht ist jetzt ein guter Zeitpunkt, dem Hinweis aus der Aufgabenstellung nachzugehen.
[latex]Q(\{ k+l, k+l + 1, \dots \} \ | \ \{ k, k + 1, \dots \}) = \frac{Q(\{ k+l, k+l + 1, \dots \})}{Q(\{ k, k + 1, \dots \})} = \frac{1 - \sum_{i=1}^{k+l-1} Q(\{ i \})}{1 - \sum_{i=1}^{k-1} Q(\{ i \})}[/latex]
Naja, das sieht ja schon beinahe geometrisch aus. Was ich mit den Summen soll, weiß ich jetzt allerdings nicht…

Leider immer noch ein Stochern im Dunkeln und kein roter Faden. Ich komme mir in zunehmendem Maße begriffsstutzig vor. %)

[latex]Q(\{ l \}) = \frac{Q(\{ k + l \})}{Q(\{ k, k + 1, \dots \})} = \frac{Q(\{ k + l \})}{1 - Q(\{ 0, 1, \dots, k-1 \})} = \frac{Q(\{ k + l \})}{1 - \sum_{i=1}^{k-1} Q(\{ i \})}[/latex]
Sehe ich das soweit richtig?

Das i läuft bei 0 los, ansonsten ja. Nun setz doch hier mal einen
ganz bestimmten Wert für k ein.

Das i läuft bei 0 los, ansonsten ja.

Mea culpa. Korrigiert: [latex]Q(\{ l \}) = \frac{Q(\{ k + l \})}{1 - \sum_{i=0}^{k-1} Q(\{ i \})}[/latex]

Nun setz doch hier mal einen ganz bestimmten Wert für k ein.

Meinetwegen, lässt sich machen…
[latex]Q(\{ l \}) = \frac{Q(\{ 3 + l \})}{1 - \sum_{i=0}^{2} Q(\{ i \})} = \frac{Q(\{ 3 + l \})}{1 - Q(\{ 0 \}) - Q(\{ 1 \}) - Q(\{ 2 \})}[/latex]
Trotzdem verstehe ich nicht, was du mir damit sagen willst. Dadurch wird es (zumindest mir) auch nicht anschaulicher, wie es weitergehen soll.

Meinetwegen, lässt sich machen…

Warum gleich eine so große Zahl? Versuch mal eine andere,
die die resultierende Formel einfacher macht [28]

Für [latex]k = 0[/latex] steht im Nenner nur noch die 1, so dass sich ziemlich schnell eine wahre Aussage ergibt: [latex]Q(\{ l \}) = Q(\{ l \})[/latex]

Für [latex]k = 1[/latex] erhalten wir dann halt [latex]Q(\{ l \}) = \frac{Q(\{ 1 + l \})}{1 - \sum_{i=0}^{0} Q(\{ i \})} = \frac{Q(\{ 1 + l \})}{1 - Q(\{ 0 \})}[/latex]

Und das soll mir nun was sagen? :)

Für [latex]k = 1[/latex] erhalten wir dann halt [latex]Q(\{ l \}) = \frac{Q(\{ 1 + l \})}{1 - \sum_{i=0}^{0} Q(\{ i \})} = \frac{Q(\{ 1 + l \})}{1 - Q(\{ 0 \})}[/latex]

Und das soll mir nun was sagen? :)

Das lässt sich umstellen zu [latex]Q(\{l+1\})=Q(\{l\})\cdot(1-Q(\{0\})[/latex].
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit von [latex]\{l+1\}[/latex] ergibt sich durch einen
festen Faktor aus der Wahrscheinlichkeit von [latex]\{l\}[/latex].
Wenn du also [latex]Q(\{0\})[/latex] kennst, kennst du alle Werte [latex]Q(\{l\})[/latex].

Nun musst du nur noch zeigen, dass [latex]Q(\{0\})[/latex] auch schon festgelegt ist.
Tip: Die Summe über alle [latex]Q(\{l\})[/latex] muss 1 sein.

Okay, nicht verraten. Aus [latex]Q(\{l+1\})=Q(\{l\})\cdot(1-Q(\{0\}))[/latex] lässt sich ja nun folgern:

[latex]Q(\{n\})=Q(\{0\})\cdot(1-Q(\{0\}))^n[/latex]
Was per Induktion relativ leicht zu beweisen sein sollte. Geometrische Verteilung ahoi!

Was ich jetzt noch nicht verstehe ist, inwiefern [latex]Q(\{0\})[/latex] festgelegt sein kann. Intuitiv kann [latex]\sum_{n \in \mathbb{N}_0} Q(\{n\}) = 1[/latex] nicht für alle denkbaren [latex]Q(\{0\})[/latex] gelten. In der Definition der geometrischen Verteilung steht an der Stelle [latex]p[/latex], was jedoch zwischen 0 und 1 gewählt werden kann (wobei bei genau 0 die Summe ja auch wieder 0 wäre…).

Suche ich jetzt nach einem konkreten, festen Wert für [latex]Q(\{0\})[/latex]? Ich wüsste nämlich auch jetzt nicht, wie ich diese unendliche Summe dahingehend auflöse. Vielleicht gibt's da ja irgendeinen Trick mit der geometrischen Summenformel, nur dass ich den dann gerade nicht kenne. Integrale sind ja wohl nicht gefordert, da wir uns in der diskreten Welt bewegen…

(Meine Fragen sind jetzt weniger antwortheischender als rhetorischer Natur und ordnen bloß meine Gedankengänge. Vielleicht ermutigen sie ja auch mal jemand anderes, sich hier zu melden - schließlich müssen diese Aufgabe ja außer mir noch ~100 Leute am Dienstag abgeben…)

Sieht alles ganz logisch aus was hier steht.
Nur inwiefern wuerde hier der Tipp berücksichtigt, der bei der Aufgabe mit angegeben war? Bzw. was sollte der bringen….

Suche ich jetzt nach einem konkreten, festen Wert für [latex]Q(\{0\})[/latex]?

Huch, da hab ich mich vertan. Nee, darauf kann man nicht mehr schließen.
Die Aufgabe ist schon fertig.

Okay - dann sage ich mal vielen Dank, georg! Hoffen wir, dass das nicht zur Gewohnheit wird. :)