Ich hätte gerne gewusst, welche Zusammenhänge es zwischen der strukturellen Beschränktheit und P(T)-Invarianten gibt:

1. Die P(T)-Invarianten kann es keine oder unendliche viele geben???
2. Sind P-Invarianten vorhanden, MÜSSEN auch T-Invarianten da sein?
3. Welche Schlüsse kann man aus dem Vorhandensein von P(T)-Invarianten für die strukturelle Beschränktheit des Netzes ziehen?
4. Ich habe mir sagen lassen, dass mindestens Ein positives Vorzeichen in dem Invarianten-Vektor ein eindeutiges Zeichen für die strukturelle Beschränktheit wäre??

1. Die P(T)-Invarianten kann es keine oder unendliche viele geben???

Ja und ja. Genauer gesagt, wenn es P- bzw. T-Invarianten gibt, dann immer auch unendlich viele. Schliesslich bilden die Invariantenvektoren sowas ähnliches wie einen Vektorraum.

2. Sind P-Invarianten vorhanden, MÜSSEN auch T-Invarianten da sein?

Nein.

3. Welche Schlüsse kann man  aus dem Vorhandensein von P(T)-Invarianten für die strukturelle Beschränktheit des Netzes ziehen?
4. Ich habe mir sagen lassen, dass mindestens Ein positives Vorzeichen in dem Invarianten-Vektor ein eindeutiges Zeichen für die strukturelle Beschränktheit wäre??

Ein P-Invariantenvektor, in dem ALLE Komponenten grösser als 0 sind, bedeutet, dass das Netz strukturell beschränkt ist.

Ich habe gerade eben zur Übung einfach mal ein kleines Netz erstellt, das die 2. Frage beispielhaft veranschaulicht, und dessen Invarianten berechnet:

[IMG]http://img10.imageshack.us/img10/923/kleinesnetzbt4.th.png[/IMG]

Das ist so ein Netz welches zwar P-Invarianten, aber keine T-Invarianten hat. Da es nicht so groß ist, sind die auftretenden Matrizen und Vektoren auch nicht so unhandlich. Wer davon die P-Invarianten berechnen kann und feststellen kann, dass bzw. warum es keine T-Invarianten gibt, ohne dafür ins Skript zu schauen, der sollte (zumindest was Netzinvarianten angeht) wohl gut vorbereitet sein. :)

Erstmal Danke!

Zu 3,4 habe ich dann eine Zusatzfrage:
(Alle Komponenten > 0) => strukturell beschränkt  ???
ODER
(Alle Komponenten > 0) <=> strukturell beschränkt  ???

Die 2. Zusatzfrage:
Was ist, wenn alle Komponenten der T-Invarianten-Vektoren größer 0 sind ???? Kann man davon was sinnvolles ableiten?

Die 2. Zusatzfrage:
Was ist, wenn alle Komponenten der T-Invarianten-Vektoren größer 0 sind ???? Kann man davon was sinnvolles ableiten?

Da T-Invariantenvektoren aus [latex]\mathbb{N}^k[/latex] sind (und nicht wie P-Invariantenvektoren aus [latex]\mathbb{Z}^k[/latex]) stellt sich die Frage eigentlich gar nicht erst. Interessant wäre vielleicht noch, was es für Auswirkungen hat, wenn einige Komponenten genau gleich 0 sind. Dazu fällt mir aber auch nur ein, dass die entsprechenden Transitionen in der entsprechenden Aktionssequenz dann halt nicht vorkommen. Denk daran, dass der Fall explizit ausgeschlossen wird, dass alle Komponenten gleich 0 sind.

Zu deiner anderen Frage müsste ich jetzt wilde Vermutungen anstellen, das lasse ich lieber und warte auf jemanden, der's genauer weiß. ;)

@Julian
Die P-Invarianten wären: a(1,1)tr., a€Z\{0}
Die T-Invarianten wären: a(1,-1)tr., a€Z\{0}
Warum sollte es hier keine T-Invaranten geben????

Da habe ich übersehen, dass T-Invarianten aus N^k sein müssen, sonst wäre meine Lösung gar nicht verkehrt:)
Gut aufgepasst!

Die T-Invarianten wären: a(1,-1)tr., a€Z\{0}
Warum sollte es hier keine T-Invaranten geben????

Da T-Invariantenvektoren aus [latex]\mathbb{N}^k[/latex] sind (und nicht wie P-Invariantenvektoren aus [latex]\mathbb{Z}^k[/latex])

[22]

ergänzend gesagt: Ich kann nämlich nicht -1 (t1 oder t2) Transition schalten lassen

Zu 3,4 habe ich dann eine Zusatzfrage:
(Alle Komponenten > 0) => strukturell beschränkt  ???
ODER
(Alle Komponenten > 0) <=> strukturell beschränkt  ???

Ich meine, es gilt in beide Richtungen. Mal sehen. Es gilt:

Ein Netz ist unbeschränkt, genau dann wenn [latex]m_1, m_2[/latex] erreichbar sind, mit [latex]m_1 \rightarrow m_2, m_2 \gneqq m_1[/latex]

Das kann man für strukturelle Beschränktheit umformulieren zu:

Ein Netz ist genau dann strukturell unbeschränkt, wenn es eine Schaltfolge [latex]\sigma \in T^*[/latex] gibt, mit [latex]\psi(\sigma) \gneqq 0[/latex].

Das heisst, [latex]\sigma[/latex] legt auf mindestens eine Stelle Marken, ohne die Anzahl der Marken auf den anderen Stellen zu verringern. Diese Stelle kann also nicht Teil einer P-Invariante sein.

ergänzend gesagt: Ich kann nämlich nicht -1 (t1 oder t2) Transition schalten lassen

Eben deswegen - ein T-Invariantenvektor beschreibt ja, wie oft in einer Aktionsfolge die einzelnen Transitionen vorkommen, so dass diese Aktionsfolge wieder zur Ursprungsmarkierung führt, es ist also ein Vektor von Anzahlen. In dem obigen Netz gibt es keine (nichtleere) Aktionsfolge, die das leistet.

(Ich weiß, du hast das schon verstanden, ich wollte es aber nur nochmal für eventuelle Mitleser deutlich machen.)

Zu dem informellen Beweis von UncleOwen:
Ich kann deinen Beweis weder verneinen noch bejahen. Ich sehe es nicht. Ich bräuchte ein wenig Überlegungszeit, die mir nun leider fehlt:)

Trotzdem Danke!

@Julian
Der interessante Fall mit Null(en) als Teilkomponenten der P-Invarianten(vorausgesetzt: nicht alle Komp. sind Null) sollte meiner Ansicht nach nichts an der strukt. Beschränktheit ändern.
Laut Skript Seite 204 ist k(i)(mo)€Z und nicht Z\{0}
Ganz platt gesagt: Wenn ein Teil der Vektor-Koponenten Null ist, wird das Netz dadurch nicht lebendiger:)

Solange nicht alle Komponenten 0 sind, dürfen einige 0 sein, das ist klar. Was meinst du mit "lebendiger"? Strukturelle Beschränktheit und Lebendigkeit sind orthogonale Eigenschaften, sie haben erst mal nichts miteinander zu tun, oder? Ich kann dir jedenfalls Netze bauen, die sowohl strukturell beschränkt als auch lebendig sind.

Wenn Komponenten des Invariantenvektors 0 sind, bedeutet das, dass das Netz nicht mehr zwangsweise strukturell beschränkt ist, da wir dann mindestens eine Komponente haben, über die wir in der Invariantengleichung keine Aussage machen.

Aber die k(i) sind doch nicht die Invariante…

Betrachte folgendes Netz:

(p1) <- [t1] <-> (p2)

Ganz sicher nicht strukturell beschränkt, trotzdem ist die Anzahl der Marken auf p2 konstant -> P-Invariante (0 1). p1 kommt in dieser P-Invariante aber nicht vor!

Hmm ich denke dass
(Alle Komponenten > 0) <= strukturell beschränkt
nicht gilt.

Versuch eines Gegenbeispiels:
(.) <—> |__|         ( )
Erklärung: Ein Platz mit einer Marke. Eine Transition. Dazwischen ein Pfeil in beide Richtungen (bzw je ein Pfeil in jede der beiden Richtungen). Ausserdem noch ein zweiter Platz ohne Marken und ohne Pfeile.

Dieses Netz ist strukturell beschränkt. Ein P-Invariantenvektor ist (1;0)
Also gilt NICHT
(Alle Komponenten > 0) <= strukturell beschränkt

überzeugt!
Dass Lebendigkeit, Beschränktheit und Reversibilität othogonale Eigenschaften sind, weiß ich sehr wohl. Deswegen sind auch 8 Kombinationen davon möglich.
Ich meinte das sprachliche lebendig als Opposition zu beschränkt…einfach vergessen!

Warum sollte ein P-IV (1,0) sein??? Der ist doch (0,0)

oder besser gesagt: Delta ist Null, deswegen gibt es hier weder P- noch T-Invarianten.

Damit müsste das NICHT gelten, was UncleOwen zu beweisen versuchte-nämlich die Biimplikation.
Du hast also ein Netz gefunden, welches (k-)beschränkt ist, und trotzdem gibt es keine P-Invariante.
Dann haben wir's! Oder seht es anders?

Steht irgendwo das Delta nicht Null sein darf? Ich weiss das der Nullvektor als Invariantenvektor ausgeschlossen wurde aber ich habe nirgends etwas gefunden das Delta nicht eine Matrix voller Nullen sein darf.

Da das Schalten der Transition keine Auswirkungen auf die Markierung hat, ist der Vektor (1,1) ein gültiger P-Invariantenvektor für das Netz - es hat also schon mal einen. Allerdings ist auch jeder andere Vektor multipliziert mit der transponierten Wirkungsmatrix der Nullvektor. Interessant. Heißt das, dass der Satz von Lautenbach für solche Netze (die Wirkungsmatrix enthält nur Nullen) nicht gilt?

Wie kommst du denn auf (1,1)?. P-Invarianten kannst du lediglich über die Wirkungsmatrix ausrechnen, wenn die Null ist, sind automatisch alle P(T)-Vektoren Null.

Was du sagst, ist schon mal vekehrt gedacht: Laut dem Satz von Lautenbach sind alle Vektoren [latex]\overset{\rightarrow}{i}[/latex] als Lösungen der Gleichung [latex]\Delta_{tr} \cdot \overset{\rightarrow}{i} = \overset{\rightarrow}{0}[/latex] P-Invariantenvektoren. Wenn [latex]\Delta[/latex] nun so eine Matrix mit nur Nullen ist, erfüllen alle Vektoren mit passender Komponentenzahl die Gleichung und wären somit P-Invariantenvektoren.

Auf (1,1) komme ich durch draufgucken. Jede erreichbare Markierung entspricht der Startmarkierung multipliziert mit 1.

Du hast recht dass jeder Vektor mit passender Komponentenzahl ein P-Invariantenvektor ist. Trotzdem gilt auch in diesem Fall der Satz von Lautenbach das für jeden Vektor i gilt:
i^tr * m = i^tr * m0
aus dem einfachen Grund das m = m0 für alle m € R(N,m0)

Hmm ich denke dass
(Alle Komponenten > 0) <= strukturell beschränkt
nicht gilt.

Versuch eines Gegenbeispiels:
(.) <—> |__|         ( )
Erklärung: Ein Platz mit einer Marke. Eine Transition. Dazwischen ein Pfeil in beide Richtungen (bzw je ein Pfeil in jede der beiden Richtungen). Ausserdem noch ein zweiter Platz ohne Marken und ohne Pfeile.

Dieses Netz ist strukturell beschränkt. Ein P-Invariantenvektor ist (1;0)
Also gilt NICHT
(Alle Komponenten > 0) <= strukturell beschränkt

Genauer gesagt muss es heissen: Es gibt einen P-Invariantenvektor in dem alle Komponenten > 0 sind <=> Das Netz ist strukturell beschränkt. Und so einen gibt es ja (z.B. (1;1), wie Julian schon sagte)

Du hast recht.Es gibt unendlich viele. Wir hatten schon früher festgestellt, dass es entweder gar keine gibt oder unendliche viele.
a(1,1),a€Z\{0}

Du hast recht dass jeder Vektor mit passender Komponentenzahl ein P-Invariantenvektor ist. Trotzdem gilt auch in diesem Fall der Satz von Lautenbach das für jeden Vektor i gilt:
i^tr * m = i^tr * m0
aus dem einfachen Grund das m = m0 für alle m € R(N,m0)

Da hast du Recht - dann kann man ja doch mit gutem Gewissen behaupten, dass jeder Vektor mit zwei Komponenten, abgesehen vom Nullvektor, ein gültiger P-Invariantenvektor für das obige Netz ist. Puh, gerettet. :)

a(1,1) sind tatsächlich nicht alle Vektoren.
Alle, abgesehen vom Nullvektor, wäre die richtige Antwort, wie Julian schon sagte.

Genauer gesagt muss es heissen: Es gibt einen P-Invariantenvektor in dem alle Komponenten > 0 sind <=> Das Netz ist strukturell beschränkt. Und so einen gibt es ja (z.B. (1;1), wie Julian schon sagte)

Dann habe ich deine Aussage missverstanden. Das obrige Netz ist dafür natürlich kein Gegenbeispiel. Ich habe aber trotzdem ein Gegenbeispiel für deine Aussage:
( …..  )  —-> [__]
Erklärung: Ein Platz mit beliebig (endlich) vielen Marken. Ein Pfeil. Eine Transition.

Strukturell beschränkt und es gibt keinen P-Invariantenvektor.

Ok, stimmt.

Im Beweis war die Richtung die falsche:
Zu zeigen, dass

"nicht strukturell beschränkt => existiert keine P-Inv. >0"

ist das gleiche wie

"existiert P-Inv. >0 => strukturell beschränkt".

Argh, ja…