Was heißt eigentlich "kleiner gleich hoch -1"?????

http://de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)#Umkehrrelation

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Oder noch einfacher: http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_relation (s. unter EXAMPLES)

Was ich in dieser Aufgabe nicht verstehe, ist: Auf welcher Menge ist die Relation R definiert???

Auf irgendeiner.

Auch auf der Menge der mathematischen Figuren: M:={Dreieck,Rechteck,Kreis,…} ??????
Wie soll ich darauf die kleiner gleich Relation anwenden????

Mit <= ist allgemein irgendeine partielle Ordnung definiert.
Du darfst das nicht mit dem <= auf den natürlichen Zahlen gleichsetzen.
Wichtig ist nur, dass die Ordnung reflexiv, antisymmetrisch, und transitiv ist.

Zb wäre { (Dreieck,Dreieck),(Rechteck,Rechteck), (Kreis,Kreis) , (Dreieck, Rechteck), (Rechteck,Kreis), (Dreieck, Kreis)}
eine partielle Ordnung, weil sie diesen Kriterien erfüllt.

Auch wenn umgangssprachlich Dreieck <= Rechteck für uns keinen Sinn macht!

Bei allen Definitionen von Relationen, die ich im Internet finde, wird immer Bezug auf Mengen genommen. Auch im FGI-2 Skript (Def 1.21) heißt es: "Sei A eine Menge…."

Wie soll ich denn ohne Mengendefinition die Transitivität feststellen??? Außerdem wie soll ich auf NICHT-Zahlen-Mengen Transitivität feststellen?
aRb und bRc dann aRc
2<=3 und 3<= 5 dann 2<=5 sehe ich ein!
Aber schon bei komplexen Zahlen ergäbe es keinen Sinn: 2 + j2 > 4 - j3 ???

Bei allen Definitionen von Relationen, die ich im Internet finde, wird immer Bezug auf Mengen genommen. Auch im FGI-2 Skript (Def 1.21) heißt es: "Sei A eine Menge…."

Dann denk Dir die Aufgabe als "Sei A eine Menge, sei <= eine partielle Ordnung auf A". Eine Grundmenge braucht man immer, das steckt halt implizit in der Aufgabenstellung drin. (Es ist aber NICHT gesagt, um welche Menge A es sich handelt!)

Wie soll ich denn ohne Mengendefinition die Transitivität feststellen??? Außerdem wie soll ich auf NICHT-Zahlen-Mengen Transitivität feststellen?
aRb und bRc dann aRc

Anhand der Definition der Transitivität. Ausserdem weisst Du, dass <= eine partielle Ordnung ist, Du weisst, was eine Inverse Relation ist, und Du weisst, was Vereinigung ist. Mehr brauchst Du nicht.

Bei allen Definitionen von Relationen, die ich im Internet finde, wird immer Bezug auf Mengen genommen. Auch im FGI-2 Skript (Def 1.21) heißt es: "Sei A eine Menge…."

Das wird hier implizit gemacht. Dadurch, dass gesagt wird, <= sei eine partielle
Ordnung, wird ja gesagt, dass <= eine Teilmenge von AxA ist, für eine bestimmte
Menge A. Das ist die Defintion von partiellen Ordnungen.

Wie soll ich denn ohne Mengendefinition die Transitivität feststellen??? Außerdem wie soll ich auf NICHT-Zahlen-Mengen Transitivität feststellen?
aRb und bRc dann aRc

Ganz genau so. Du nimmst an, a,b und c aus der implizit vorausgesetzten Menge A
erfüllen aRb und bRc. Dann sollst du prüfen, ob sich daraus schon aRc schließen lässt.
Und bei diesem Schluss kannst du die Voraussetzungen benutzen: dass R definiert ist
als [latex](\le\cup\le^{-1})[/latex] und, dass <= eine partielle Ordnung ist.

2<=3 und 3<= 5 dann 2<=5  sehe ich ein!

Hier geht es nicht ums anschauliche Einsehen, sondern um die axiomatische
Behandlung von Relationen. Eine partielle Ordnung muss nicht die bekannte
Ordnung der reellen Zahlen sein, sondern ist eine Relation mit den drei bekannten
Eigenschaften.

Aber schon bei komplexen Zahlen ergäbe es keinen Sinn: 2 + j2 > 4 - j3 ???

Das kommt halt auf die Ordnung an.  Dass es auf C keine partielle Ordnung gibt,
die verträglich mit Addition und Multiplikation ist, ist ja bekannt. D.h. hier muss
es um andere Ordnungen gehen. Aber das macht nichts, du musst nur benutzen,
dass sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.



Jetzt klar?

Es ist klarer geworden. Mal schauen ob ich es nun umsetzten kann:)Danke georg und UncleOwen.

ist die verienigung <= mit >= auch eine partielle ordnung?

bzw ist die inverse einer partielle ordnung auch eine partielle ordnung?

man könnte auch fragen.Wenn "<=" partielle Ordnung ist, also:
1.Reflexiv
2.Antisymetrisch
3.Transitiv
dann: was ist die Inverse davon?
1.Nicht-reflexiv
2.Nicht-antismmetrisch
3.nicht-transitiv
?????

Im Internet steht: Die Inverse einer (Halb)Ordnung ist auch eine (Halb)Ordnung.

Leute, Leute, ich hätte jetzt nicht gedacht, dass das Argumentieren auf Relationen solche Schwierigkeiten macht. Also:

• Erst mal muss klar sein, was die Inverse (auch: Umkehrrelation) einer Relation ist. Oben gabs schon einen Verweis auf den Wikipedia-Artikel, wo man das nachlesen kann: Die Umkehrrelation enthält genau für jedes Paar der ursprünglichen Relation ein Paar mit vertauschter erster und zweiter Komponente, d.h. aus (Dreieck, Kreis) in der Relation wird (Kreis, Dreieck) in der Umkehrrelation.
• Wenn die Relation R eine partielle Ordnung ist, weiß man, dass sie transitiv, reflexiv und antisymmetrisch ist (die mathematischen Definitionen dazu stehen im Skript bei der Definition der partiellen Ordnung).
• Jetzt überlegt man mal, was aus den Eigenschaften der partiellen Ordnung beim Umkehren wird. Ein Beispiel: [latex]R \subseteq A \times A[/latex] sei reflexiv, d.h. für jedes Element a der Basismenge muss das Paar (a,a) in R enthalten sein. In der Umkehrrelation ist zu jedem dieser Paare das inverse Paar enthalten, welche ebenfalls die Form (a,a) haben. Also ist auch die Umkehrrelation reflexiv, da zu jedem Element a der Basismenge ein Paar (a,a) in der Umkehrrelation existiert.

Wenn es mit dem Verständnis der mathematischen Grundlagen hakt, empfehle ich einen Besuch in der Saalübung, dort wird vieles noch einmal von der formalen Seite her besprochen. Letzten Donnerstag haben wir z.B. eine knappe Stunde lang über Relationen, Ordnungen und ihre Eigenschaften gesprochen. Falls Du da warst, aber nicht genug verstanden hast, solltest Du auf jeden Fall während der Übung schon nachfragen.