Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a

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Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - Harzilein - 07.10.2007 23:03

Ich bin etwas verzweifelt, weil eine Aufgabe die eigentlich "Pillepalle" sein müsste mich vor große Probleme stellt:

Weise mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz von [EDIT²] $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^{3i}}$ [/EDIT²] nach.

Daraus ergibt sich die Aufgabe, den Grenzwert von $\frac{i / 2^{3i}}{i+1 / 2^{3(i+1)}}$ (oder $\frac{\frac{i}{2^{3i}}}{\frac{i+1}{2^{3(i+1)}}}$ , sieht beides hässlich aus) zu bestimmen. [EDIT³]Tut es nicht, das Quotientenkriterium geht genau umgekehrt. Aber ich hab, aus Gründen die ich gerade nicht nachprüfen will, nochmal Glück gehabt und das Ergebnis ist dann auch einfach der Kehrwert[/EDIT³] Zwei Ansätze haben sich mir da gestellt, mit wenig fruchtbarem Ausgang:

1. Ich behalte den etwas unschönen Doppelbruch, freue mich, dass ich Satz 8d aus Kapitel 1 anwenden kann (wobei ich meine Zweifel hab, schliesslich weiss ich noch nicht ob $\lim_{i \to \infty} \frac{i+1}{2^{3(i+1)}}$ nicht 0 ist) und stehe nun vor dem einfacheren Problem, $\lim_{i \to \infty} \frac{i}{2^{3i}}$ und $\lim_{i \to \infty} i+1 / 2^{3(i+1)}$ zu berechnen. Da stellt sich raus, dass man l'Hospital anwenden muss, weil $i$ , $2^{3i}$ etc. alle gegen $\infty$ gehen. Tu ich das, ende ich mit den beiden Ausdrücken $\frac{1}{3*ln(2)*2^{3i}}$ und $\frac{1}{3*ln(2)*2^{3(i+1)}}$ , auf die kann ich nicht mehr l'Hospital anwenden und stehe doof da.

Fortsetzung mit Teil 2 (Multiplikation mit Kehrwert, kein Ansatz ums auszumultiplizieren) folgt.

Ganz viel edit damits auch hübsche Latex-Formeln gibt, damit das hier auch nicht überlesen wird, weil keiner das Posting parsen kann.
Und noch ein Edit, weil ich die Aufgabe falsch abgeschrieben habe.

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - Zaphod - 07.10.2007 23:36

Harzilein schrieb:

Weise mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz von $\frac{i}{2^{3i}}$ nach.

Fehlt da nicht noch ein Summenzeichen davor?

Harzilein schrieb:

$\frac{\frac{i}{2^{3i}}}{\frac{i+1}{2^{3(i+1)}}}$

Das kannst du etwas umformen:

$\frac{i}{i+1} * \frac{2^{3i+1}}{2^{3i}}$

= $\frac{i}{i+1} * 2$

= $\frac{2 i}{i+1}$

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - Harzilein - 07.10.2007 23:43

So, Teil 2: Hier berechnen wir also $\lim_{i \to \infty} \frac{i \cdot 2^{3(i+1)}}{(i+1) \cdot 2^{3i}}$

Erstens weiss ich die Terme nicht zu vereinfachen, und zweitens funktioniert l'Hospital irgendwie nicht mehr, nehme ich an. Hm. Vielleicht gehts ja doch, dass es eine Regel gibt die mir erlaubt die Grenzwerte der Teilterme zu bilden heisst ja nicht, dass ich das muss... hm.

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - Harzilein - 07.10.2007 23:44

Oha da hab ich dir ja mitten ins Wort getippt.

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - doodles - 07.10.2007 23:52

Wenn man die Aufgabe nach Möglichkeit2 rechnet bekommt man doch folgendes:

Das kann man dann mit Polynomdivision oder l'Hospital lösen und da kommt 8 raus. Entweder da ist ein Rechenfehler drin oder es ist einfach.

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - georg - 07.10.2007 23:58

Es ist $\lim_{i\to\infty} \frac{i}{2^{3i}}=0$ , denn
$\frac{i}{2^{3i}}\le \frac{1}{i}$ für alle positiven i, weil
man $i^2\le 8^i$ leicht durch Induktion zeigen kann.

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - Harzilein - 08.10.2007 00:00

Ja, stimmt völlig. Mein Fehler lag im Vergessen des Kommutativgesetzes. 8 ist richtig, hat Maxima vorhin auch schon ausgeworfen, hätt aber auch nen Bedienfehler sein können, daher hab ichs nicht gleich rausposaunt. Ich geh mich jetzt in Grund und Boden schämen.

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - Harzilein - 08.10.2007 00:04

georg schrieb:

Es ist $\lim_{i\to\infty} \frac{i}{2^{3i}}=0$ , denn
$\frac{i}{2^{3i}}\le \frac{1}{i}$ für alle positiven i, weil
man $i^2\le 8^i$ leicht durch Induktion zeigen kann.

Sorry, meine Aufgabe war etwas anders.

Edit1: Majorantenkriterium vermutet
Edit2: Festgestellt, dass ich keine Ahnung hab und die Klappe halten sollte.
Edit3:
Geht es um den Satz (Aus Dobner/Engelmann "Analysis 1", im Skript gibts das gleiche aber sicher in grün) "Es seien $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ zwei konvergente Folgen mit Grenzwerten a, b. Ferner sei [...] N_0 ein endlicher Index. Dann gelten die Aussagen: [...] Aus a_n =< b_n für alle n>=N_0 folgt für die Grenzwerte a=<b."?

RE: Quotientenregel und l'Hospital, ALA 2006 Zettel 8 Präsenzaufgabe 1a - Harzilein - 08.10.2007 00:10

Und das Quotientenkriterium hab ich falschrum hingeschrieben. *soifz*.