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ALA 2006 Zettel 11, Bilinearform: - Harzilein unterwegs - 28.09.2007 14:51
2. Die reelle 3 × 3 -Matrix A sei gegeben durch
2 1 0
A= 1 2 1
0 1 4
Sei b=b^A die zu A gehoerige Bilinearform auf V = R^3 , also b(x, y) = xAy^T .
Berechnen Sie b(v,w) , b(u, z) und b(z, z) fuer v = e_1 = (1, 0, 0) , w = e_3 = (0, 0, 1) ,
u = (1, 2, 3) , z = (−1,−1, 1) .
Pruefen Sie, ob b symmetrisch und positiv definit ist.
Ich bin etwas verwirrt, muesste nicht b in diesem Fall eine 3x3-Matrix sein, und nicht wie im Skript ein Skalar?
Ich multipliziere ja erst einen Spaltenvektor mit einer 3x3-Matrix und erhalte eine 3x3-Matrix und dann multipliziere ich die 3x3-Matrix mit einem transponierten Spaltenvektor. Was eigentlich gemeint ist ist ja klar, aber wo liegt mein Denkfehler bzgl. Matritzenmultiplikation? Oder ist es tatsaechlich ein Druckfehler? und es ist x^{T}Ay gemeint?
RE: ALA 2006 Zettel 11, Bilinearform: - Frank - 28.09.2007 17:04
Hi Harzi,
hab's gerade nur ueberflogen, aber einen *Spaltenvektor* mit einer 3x3-Matrix zu multiplizieren
wird nicht gehen!
(Zeilenvektor (mit drei Spalten) mal 3x3-Matrix geht. Da kommt dann wieder ein
Zeilenvektor (mit drei Spalten) heraus, den man dann mit einem Spaltenvektor
multiplizieren kann, was eine 1x1-"Matrix" ergibt. -- Vorausgesetzt Zeilenvektor
und Spaltenvektor haben jeweils drei Elemente!)
Frank :)
RE: ALA 2006 Zettel 11, Bilinearform: - Frank - 28.09.2007 17:14
Hi Harzi,
ich nochmal ;)
jetzt versteh ich glaub ich was du gemeint hast ;)
Also b 'ist' eine 3x3 Matrix (naemlich gerade A) oder anders: b ist eine
Bilinearform, d.h. eine Abbildung, die zwei Vektoren auf einen Skalarwert
abbildet (und gewisse Eigenschaften erfuellt, naemlich in beiden Argumenten
linear zu sein). Die *darstellende Matrix* der Bilinearform b ist nun gerade
A - so in der Aufgabe gegeben.
Die Angabe fuer b(x,y) wird wahrscheinlich ein Druckfehler sein und es
wird b(x,y) = x^T * A * y gemeint sein. (Haengt natuerlich davon ab, wie
der 'normale' Vektor definiert ist (Spalte oder Zeile) und welcher dann der
transponierte ist.)
Frank :)
RE: ALA 2006 Zettel 11, Bilinearform: - Harzilein - 28.09.2007 21:53
Sind wir schon zwei mit der Meinung. Ich werd nochmal im Skript gucken, aber ein (x_1,...,x_n)-Vektor wurde normalerweise als 1xn-Matrix dargestellt.