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Bestimmen einer Basis eines Untervektorraums von |R^4 - Dennis- - 05.01.2005 20:22
Hi!
Ich hab V als |R^4 gegeben und soll nun zu einer Menge von Vektoren zeigen, dass sie ein Untervektorraum sind und ne Basis angeben.
|R sind meine reelen Zahlen.
Das nachrechnen der Untervektorraum-axiome war einfach
aber mit den Basen tue ich mich sehr schwer!
U ist die Menge aller Vektoren v aus |R^4 für die gilt: v erfüllt folgende 3 Gleichungen...
wobei v := (x,y,z,t) (also die Komponenten, die jeweils aus den reelen sind)
x+2y=0
y+t=0
x-2t=0
Nun wurde mir gesagt "lös das LGS". Derive kommt auf
x-2t=0
y+t=0
als Lösungen (die erste Gleichung hängt linear von den anderen beiden ab). Aber wir konstruieren ich daraus nun eine Basis?
Re: Bestimmen einer Basis eines Untervektorraums von |R^4 - UncleOwen - 05.01.2005 20:46
Als erstes schreiben wir mal Deine Gleichungen etwas anders:
x = 2t
y = -t
z beliebig.
Das heisst: Um einen Vektor aus Deinem Vektorraum zu bekommen, wählt man z und t, x und y ergeben sich automatisch. Wir haben also 2 Freiheitsgrade, sprich 2 Dimensionen; wir brauchen für eine Basis also 2 unabhängige Vektoren. Wählen wir einmal z=1, t=0, und einmal z=0, t=1, erhalten wir:
(0,0,1,0)
(2,-1,0,1)
Und fertig ist die Basis.
Re: Bestimmen einer Basis eines Untervektorraums von |R^4 - Dennis- - 05.01.2005 22:33
joa danke, dass hat schonmal beträchtlich zum verständnis beigetragen :-)
was mir noch etwas unklar erscheint, ist deine "Wahl" z=1, t=0, und einmal z=0, t=1
Hätte ich auch 0,0 und 1,1 wählen können? oder 3,3 und 4,4 ? Nach welchen Kriterien wähle ich denn intelligent? Und wähle ich genau so oft wie ich variablen brauche um die abhängigen zu bestimmen?
Und nun sitze ich an der nächsten Aufgabe und habe folgendes:
x+y-z-t=0
3x-z=0
Umgestellt ergibt sich:
x= z/3
y= (2z + 3t) / 3
Nun würde ich nach dem obigen z, t "wählen" und bekäme dann 2 Vektoren?
Was mich nur verwirrt ist die Auskunft von einem anderen Hilfsbereiten Menschen, der 3 mal "gewählt" hat:
z=3, t=1 ergibt y=3, x=1
z=3, t=0 ergibt y=2, x=1
z=0, t=1 ergibt y=1, x=0
er wählt also absichtlich so, damit es sich leicht rechnen lässt? ist das willkürlich?!
Auserdem war seine Antwort, dass
(1,3,3,1) + k*(1,2,3,0) + l*(0,1,0,1)
mit k, l aus |R eine Ebene aufspannt, die meinen "Lösungsraum" darstellt.
Wieso denn jetzt plötzlich 3 Vektoren? Klar - ne ebene braucht 2 um aufgespannt zu werden. Aber wieso hats da jetzt noch diesen (1,3,3,1)? Das wäre ja anschaulich eine art Stützvektor wie bei einer Geraden ein Vektor, der auf EINEN Punkt der Geraden/Ebenen zeigt
Und wenn schon 3 Vektoren.. hätte ich dann auch mit meinen ersten beiden Wahlen:
z=3, t=1 ergibt y=3, x=1
z=3, t=0 ergibt y=2, x=1
eine Basis geschaffen?
also (1,3,3,1), (1,2,3,0) ?
Vielen Dank im Voraus!
Re: Bestimmen einer Basis eines Untervektorraums von |R^4 - UncleOwen - 05.01.2005 23:14
was mir noch etwas unklar erscheint, ist deine "Wahl" z=1, t=0, und einmal z=0, t=1
Hätte ich auch 0,0 und 1,1 wählen können? oder 3,3 und 4,4 ? Nach welchen Kriterien wähle ich denn intelligent? Und wähle ich genau so oft wie ich variablen brauche um die abhängigen zu bestimmen?
Man wählt so, dass die entstehenden Vektoren linear unabhängig sind. 0,0 ist schonmal ganz schlecht, weil man dann den Nullvektor erhält. Jedes mal wählen liefert Dir einen Vektor, also wählst Du so oft, wie Du Vektoren brauchst (=Dimension des Lösungsraums).
x+y-z-t=0
3x-z=0
Umgestellt ergibt sich:
x= z/3
y= (2z + 3t) / 3
Nun würde ich nach dem obigen z, t "wählen" und bekäme dann 2 Vektoren?
Ich hätt das ja jetzt nach t und z aufgelöst, aber ja.
z=3, t=1 ergibt y=3, x=1
z=3, t=0 ergibt y=2, x=1
z=0, t=1 ergibt y=1, x=0
Da ist jetzt aber der dritte Vektor Summe der beiden ersten, die 3 Vektoren sind also abhängig => 2 mal "wählen" hätte gereicht.
ja.
(1,3,3,1) + k*(1,2,3,0) + l*(0,1,0,1)
mit k, l aus |R eine Ebene aufspannt, die meinen "Lösungsraum" darstellt.
Nene, das ist ja jetzt plötzlich ein Affiner Vektorraum[1]. Die Aufgabenstellung ist aber ein homogenes lineares Gleichungssystem [2], die haben immer einen "echten" Vektorraum als Lösungsmenge. Affine Vektorräume sind Lösungsmengen von Inhomogenen Gleichungssystemen[3]
[1] Affin = "Verschoben". Affine Vektorräume sind keine Vektorräume im eigentlichen Sinne, sondern entstehen dadurch, dass man auf jeden Vektor eines Vektorraums einen konstanten Vektor draufaddiert.
[2] d.h., auf der rechten Seite stehen nur Nullen.
[3] sprich, es gibt konstante Terme.
Re: Bestimmen einer Basis eines Untervektorraums von |R^4 - Dennis- - 06.01.2005 22:09
jo dankeschön nochma!
hab heute abgegeben.. ich denke ich hab alles hinbekommen :-)
dabei waren das wohl garnicht so die schweren aufgaben (LA1 bei Böhnecke)