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Definition einer stochastischen Matrix?!? Wtf - STOistiker - 20.09.2010 18:59
Moin.
Ich lerne gerade für STO und das mit online Material sowie dem uns ans Herz gelegten Hübner. Bisher war alles ok, aber eben habe ich das Hübner Kapitel über Markov-Ketten/Prozesse durchgearbeitet und war hinterher irgendwie verwirrt. Habe auch herausgefunden wieso.
Ein Teil der Definition einer stochastischen Matrix im Hübner lautet "vereinfacht":
Die Zeilensummen einer Übergangsmatrix (die eine stochastische Matrix ist) sind immer 1.
Schaut man sich z.B. online Vorlesungen aus Tübingen an oder aber hier: http://www.muenster.org/mauritz/matheserver/rechner/stochM/s2a.html lautet dieser Teil der Definition: Die Spalten summen ergeben immer 1.
Googlet man findet man sowohl das eine als auch das andere. Nun ist meine Frage -wtf? Wie ist das denn zu erklären und worauf ist Verlass?
RE: Definition einer stochastischen Matrix?!? Wtf - tein - 20.09.2010 19:03
Beides kann gelten, je nach Definition.
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbergangsmatrix
RE: Definition einer stochastischen Matrix?!? Wtf - STOistiker - 20.09.2010 19:28
Ja - soweit bin ich auch. Aber gibt es denn keine Normung? Was mache ich denn bei Aufgaben ala "Gegeben sei eine irreduziple, aperiodische Übergangsmatrix"? Woher soll ich wissen, ob jetzt die Definition mit den Spalten oder den Zeilenvektoren verwendet wird/werden soll?
Genauer vllcht folgende Aufgabe aus der ersten STO Klausur.
A10
Gegeben sei eine homogene Markov Kette X = (Xn: n element N inklusive 0) mit (höchstens abzählbarem) Zustandsraum I und ein-Schritt-Übergangsmatrix P = (pij: i,j element I). X sei irreduzibel und aperiodisch.
a) Wie können sie überprüfen, ob die Zustandswahrscheinlichkeiten pn(i) = P(Xn=i) für n->unendlich gegen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung konvergieren?
Meine Antwort: ok, hier ist es egal da ich ja generell sagen kann "gibt es eine GGV (pi größer 0), ist durch (G) und (N) eindeutig Lösbar, konvergiert das ganze auch gegen "pi"i.
Aber bei b)
Falls die Grenzwerte der Zustandswahrscheinlichkeiten pn(i) = P(Xn=i) für n->unendlich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren: Wie können Sie diese Grenzwerte bestimmen?
Muss ich hier jetzt eine Fallunterscheidung für beide Definitionen vornehmen? Kann ja irgendwie nicht sein.
RE: Definition einer stochastischen Matrix?!? Wtf - Anonymer User - 21.09.2010 13:29
Die Verwirrung wird durch die unterschiedliche indizierung von Übergangsw. verursacht. Hübner (und Daduna) verwenden
p_{ij}=P(X_n=j|X_{n-1}=i)
Da nach den W.axiomen die Summe über alle j 1 ergeben muss (nicht aber die Summe über alle i), sind die zeilensummen gleich 1.
In einigen Büchern wir die obige Ü.w. aber mit p_{ji} bezeichnet, womit man dann automatisch die Zeilensumme 1 sein muss.
Fazit: Für die Vorlesung hier gilt bei Ü.matrizen stets Zeilensumme =1.